La concavidad describe cómo cambia la pendiente de una curva. Una función es cóncava hacia arriba donde sus pendientes aumentan y cóncava hacia abajo donde sus pendientes disminuyen. Para una función dos veces derivable, la segunda derivada proporciona el criterio habitual:
- \(f”(x)>0\): cóncava hacia arriba;
- \(f”(x)<0\): cóncava hacia abajo.
1. Resuelve un ejemplo cúbico
Sea
\[f(x)=x^3-3x.\]
Entonces
\[f'(x)=3x^2-3,\qquad f”(x)=6x.\]
La segunda derivada es negativa para \(x<0\) y positiva para \(x>0\). Por tanto, la gráfica es cóncava hacia abajo en \(( -\infty,0)\) y cóncava hacia arriba en \((0,\infty)\).
2. Identifica el punto de inflexión
Un candidato aparece donde \(f”(x)=0\) o donde \(f”\) no está definida. Aquí, \(6x=0\) da \(x=0\). Como el signo de \(f”\) cambia, \(x=0\) es una abscisa de inflexión. Puesto que \(f(0)=0\), el punto de inflexión es \((0,0)\).
3. Por qué f″ = 0 no es suficiente
Para \(g(x)=x^4\),
\[g”(x)=12x^2.\]
Aunque \(g”(0)=0\), la segunda derivada es no negativa a ambos lados y la gráfica sigue siendo cóncava hacia arriba. Por tanto, \((0,0)\) no es un punto de inflexión.
4. Puede haber un punto de inflexión donde f″ no exista
Considera \(h(x)=x^{1/3}\). Su segunda derivada no está definida en cero, pero la gráfica cambia de concavidad allí y la función es continua. Por ello, \((0,0)\) es un punto de inflexión. La definición depende de un cambio de concavidad, no solo de resolver \(f”(x)=0\).
5. Construye una tabla de signos de la segunda derivada
- Halla el dominio de f.
- Calcula \(f”(x)\).
- Enumera los ceros y los puntos donde \(f”\) no está definida que pertenezcan al dominio o lo delimiten.
- Comprueba el signo en cada intervalo.
- Verifica si la concavidad cambia en cada candidato.
- Evalúa f para obtener las coordenadas del punto.
La herramienta de tabla de variación incluye un formato de análisis con primera y segunda derivadas que puede resumir estos intervalos junto con el crecimiento y el decrecimiento.
6. Relaciona la concavidad con las rectas tangentes
En un intervalo cóncavo hacia arriba, la gráfica suele quedar por encima de sus tangentes cerca del punto de tangencia. En un intervalo cóncavo hacia abajo, suele quedar por debajo. Esta interpretación geométrica ayuda a detectar errores en una tabla de la segunda derivada.
Errores frecuentes
- Considerar punto de inflexión toda solución de \(f”(x)=0\).
- Olvidar los puntos donde \(f”\) no está definida.
- Indicar solo una abscisa sin la ordenada cuando se pide un punto.
- Ignorar la continuidad en un supuesto punto de inflexión.
- Confundir crecimiento/decrecimiento con concavidad hacia arriba/hacia abajo.
Grafica el ejemplo cúbico en la calculadora gráfica y compáralo con el análisis mediante la primera y la segunda derivadas.