Das Krümmungsverhalten beschreibt, wie sich die Steigung einer Kurve verändert. Eine Funktion ist linksgekrümmt beziehungsweise konvex, wenn ihre Steigungen zunehmen, und rechtsgekrümmt beziehungsweise konkav, wenn ihre Steigungen abnehmen. Für eine zweimal differenzierbare Funktion liefert die zweite Ableitung das Standardkriterium:
- \(f”(x)>0\): linksgekrümmt beziehungsweise konvex;
- \(f”(x)<0\): rechtsgekrümmt beziehungsweise konkav.
1. Ein kubisches Beispiel vollständig untersuchen
Sei
\[f(x)=x^3-3x.\]
Dann gilt
\[f'(x)=3x^2-3,\qquad f”(x)=6x.\]
Die zweite Ableitung ist für \(x<0\) negativ und für \(x>0\) positiv. Daher ist der Graph auf \(( -\infty,0)\) rechtsgekrümmt und auf \((0,\infty)\) linksgekrümmt.
2. Den Wendepunkt bestimmen
Eine Kandidatenstelle liegt dort, wo \(f”(x)=0\) ist oder \(f”\) nicht definiert ist. Hier ergibt \(6x=0\) die Stelle \(x=0\). Da \(f”\) dort das Vorzeichen wechselt, ist \(x=0\) eine Wendestelle. Wegen \(f(0)=0\) ist der Wendepunkt \((0,0)\).
3. Warum f″ = 0 nicht genügt
Für \(g(x)=x^4\) gilt
\[g”(x)=12x^2.\]
Obwohl \(g”(0)=0\) ist, bleibt die zweite Ableitung auf beiden Seiten nichtnegativ und der Graph bleibt linksgekrümmt. Daher ist \((0,0)\) kein Wendepunkt.
4. Ein Wendepunkt kann auch bei nicht definierter zweiter Ableitung auftreten
Betrachten Sie \(h(x)=x^{1/3}\). Die zweite Ableitung ist bei null nicht definiert, der Graph wechselt dort jedoch sein Krümmungsverhalten und die Funktion ist stetig. Somit ist \((0,0)\) ein Wendepunkt. Entscheidend ist der Krümmungswechsel, nicht allein die Gleichung \(f”(x)=0\).
5. Eine Vorzeichentabelle der zweiten Ableitung erstellen
- Bestimmen Sie den Definitionsbereich von f.
- Berechnen Sie \(f”(x)\).
- Notieren Sie Nullstellen und Definitionslücken von \(f”\), die im Definitionsbereich liegen oder ihn begrenzen.
- Prüfen Sie das Vorzeichen auf jedem Intervall.
- Prüfen Sie an jeder Kandidatenstelle, ob das Krümmungsverhalten wechselt.
- Berechnen Sie f, um die Punktkoordinaten zu erhalten.
Das Werkzeug für Monotonietabellen enthält ein Analyseformat mit erster und zweiter Ableitung, das diese Intervalle gemeinsam mit dem Wachstums- und Fallverhalten zusammenfassen kann.
6. Krümmung und Tangenten verknüpfen
Auf einem linksgekrümmten Intervall liegt der Graph in der Umgebung des Berührpunkts typischerweise oberhalb seiner Tangenten. Auf einem rechtsgekrümmten Intervall liegt er typischerweise darunter. Diese geometrische Deutung hilft, Fehler in einer Tabelle der zweiten Ableitung zu erkennen.
Häufige Fehler
- Jede Lösung von \(f”(x)=0\) als Wendepunkt bezeichnen.
- Stellen vergessen, an denen \(f”\) nicht definiert ist.
- Nur den x-Wert angeben, obwohl ein Punkt mit y-Koordinate verlangt ist.
- Die Stetigkeit an einem vermuteten Wendepunkt nicht prüfen.
- Wachsen und Fallen mit Links- und Rechtskrümmung verwechseln.
Zeichnen Sie das kubische Beispiel im Grafikrechner und vergleichen Sie es mit der Analyse durch erste und zweite Ableitung.