凹凸性描述曲线斜率如何变化。当曲线的斜率逐渐增大时，图像向上凹；当斜率逐渐减小时，图像向下凹。对于二阶可导函数，通常使用二阶导数判定：
- \(f”(x)>0\)：向上凹；
- \(f”(x)<0\)：向下凹。
1. 完整分析一个三次函数
设
\[f(x)=x^3-3x.\]
则
\[f'(x)=3x^2-3,\qquad f”(x)=6x.\]
当 \(x<0\) 时二阶导数为负，当 \(x>0\) 时二阶导数为正。因此图像在 \(( -\infty,0)\) 上向下凹，在 \((0,\infty)\) 上向上凹。
2. 确定拐点
候选位置通常出现在 \(f”(x)=0\) 或 \(f”\) 无定义的地方。本例中，\(6x=0\) 得 \(x=0\)。由于 \(f”\) 在零点两侧变号，\(x=0\) 是拐点的横坐标。又因为 \(f(0)=0\)，拐点为 \((0,0)\)。
3. 为什么仅有 f″ = 0 还不够
对于 \(g(x)=x^4\)，
\[g”(x)=12x^2.\]
虽然 \(g”(0)=0\)，但二阶导数在零点两侧都不为负，图像始终向上凹。因此 \((0,0)\) 不是拐点。
4. f″ 无定义处也可能出现拐点
考虑 \(h(x)=x^{1/3}\)。它的二阶导数在零点无定义，但函数在零点连续，并且图像的凹凸性在该处发生变化。因此 \((0,0)\) 是拐点。拐点的本质是凹凸性发生改变，而不只是方程 \(f”(x)=0\) 的解。
5. 建立二阶导数符号表
- 求函数 f 的定义域。
- 计算 \(f”(x)\)。
- 列出定义域内或定义域边界上使 \(f”\) 为零或无定义的点。
- 在每个区间内检验二阶导数的符号。
- 检查每个候选点两侧的凹凸性是否发生变化。
- 计算 f 的函数值，得到拐点坐标。
增减表工具提供一阶与二阶导数分析格式，可将这些凹凸区间与函数的递增、递减情况一起汇总。
6. 把凹凸性与切线联系起来
在向上凹的区间内，图像在切点附近通常位于切线的上方；在向下凹的区间内，图像通常位于切线的下方。这种几何解释有助于发现二阶导数表中的错误。
常见错误
- 把方程 \(f”(x)=0\) 的每个解都直接称为拐点。
- 忘记检查 \(f”\) 无定义的点。
- 题目要求拐点时只写横坐标，没有写纵坐标。
- 没有检查候选拐点处函数是否连续。
- 混淆函数的递增、递减与图像的向上凹、向下凹。