Kromming beschrijft hoe de helling van een kromme verandert. Een functie is hol naar boven waar haar hellingen toenemen en hol naar beneden waar haar hellingen afnemen. Voor een tweemaal differentieerbare functie geeft de tweede afgeleide de standaardtest:
- \(f”(x)>0\): hol naar boven;
- \(f”(x)<0\): hol naar beneden.
1. Werk een derdegraadsvoorbeeld uit
Laat
\[f(x)=x^3-3x.\]
Dan
\[f'(x)=3x^2-3,\qquad f”(x)=6x.\]
De tweede afgeleide is negatief voor \(x<0\) en positief voor \(x>0\). De grafiek is dus hol naar beneden op \(( -\infty,0)\) en hol naar boven op \((0,\infty)\).
2. Bepaal het buigpunt
Een kandidaat ligt waar \(f”(x)=0\) of waar \(f”\) niet bestaat. Hier geeft \(6x=0\) dat \(x=0\). Omdat het teken van \(f”\) verandert, is \(x=0\) de x-coördinaat van een buigpunt. Aangezien \(f(0)=0\), is het buigpunt \((0,0)\).
3. Waarom f″ = 0 niet voldoende is
Voor \(g(x)=x^4\) geldt
\[g”(x)=12x^2.\]
Hoewel \(g”(0)=0\), is de tweede afgeleide aan beide zijden niet-negatief en blijft de grafiek hol naar boven. Daarom is \((0,0)\) geen buigpunt.
4. Een buigpunt kan optreden waar f″ niet bestaat
Beschouw \(h(x)=x^{1/3}\). De tweede afgeleide bestaat niet bij nul, maar de kromming verandert daar en de functie is continu. Daarom is \((0,0)\) een buigpunt. De definitie hangt af van een verandering van kromming, niet alleen van het oplossen van \(f”(x)=0\).
5. Maak een tekenschema van de tweede afgeleide
- Bepaal het domein van f.
- Bereken \(f”(x)\).
- Noteer nulpunten en punten waar \(f”\) niet bestaat die in of aan de rand van het domein liggen.
- Test het teken op elk interval.
- Controleer of de kromming bij elke kandidaat verandert.
- Bereken f om de coördinaten van het punt te verkrijgen.
Het hulpmiddel voor verloopstabellen bevat een analysevorm met eerste en tweede afgeleide die deze intervallen samen met stijgend en dalend gedrag kan samenvatten.
6. Verbind kromming met raaklijnen
Op een interval dat hol naar boven is, ligt de grafiek nabij het raakpunt doorgaans boven haar raaklijnen. Op een interval dat hol naar beneden is, ligt zij doorgaans eronder. Deze meetkundige interpretatie helpt fouten in een tabel van de tweede afgeleide te ontdekken.
Veelgemaakte fouten
- Elke oplossing van \(f”(x)=0\) een buigpunt noemen.
- Punten vergeten waar \(f”\) niet bestaat.
- Alleen een x-waarde geven wanneer om een punt wordt gevraagd.
- De continuïteit bij een voorgesteld buigpunt negeren.
- Stijgend/dalend verwarren met hol naar boven/beneden.
Teken het derdegraadsvoorbeeld in de grafische rekenmachine en vergelijk het met analyse met de eerste en tweede afgeleide.