Un análisis completo de una función racional combina álgebra, límites, derivadas e interpretación gráfica. Trabaja siempre en un orden fijo para no perder los valores excluidos ni las asíntotas.
En esta guía analizamos
\[f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}.\]
1. Determina el dominio
El denominador se anula en \(x=1\), por lo que
\[\operatorname{Dom}(f)=(-\infty,1)\cup(1,\infty).\]
Ningún factor se cancela con el numerador; por tanto, el valor excluido produce una asíntota vertical y no un hueco evitable.
2. Halla los cortes con los ejes
El corte con el eje y es
\[f(0)=\frac1{-1}=-1,\]
así que la gráfica pasa por \((0,-1)\). Para hallar los cortes con el eje x, resuelve \(x^2+1=0\). No existen soluciones reales, por lo que la gráfica no corta el eje x.
3. Halla las asíntotas mediante división
La división de polinomios da
\[\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}.\]
Por tanto:
- asíntota vertical: \(x=1\);
- asíntota oblicua: \(y=x+1\).
El término del resto tiende a cero cuando \(|x|\to\infty\), lo que confirma la asíntota oblicua.
4. Analiza los intervalos de crecimiento y decrecimiento
Deriva la forma obtenida mediante división:
\[f'(x)=1-\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.\]
Los valores críticos de x satisfacen
\[x^2-2x-1=0\Longrightarrow x=1\pm\sqrt2.\]
Como el denominador de \(f’\) es positivo en el dominio, el numerador determina el signo:
- creciente en \(( -\infty,1-\sqrt2)\);
- decreciente en \((1-\sqrt2,1)\);
- decreciente en \((1,1+\sqrt2)\);
- creciente en \((1+\sqrt2,\infty)\).
5. Halla los extremos locales
En \(x=1-\sqrt2\), la derivada cambia de positiva a negativa, por lo que hay un máximo local:
\[f(1-\sqrt2)=2-2\sqrt2.\]
En \(x=1+\sqrt2\), la derivada cambia de negativa a positiva, por lo que hay un mínimo local:
\[f(1+\sqrt2)=2+2\sqrt2.\]
6. Analiza la concavidad
Deriva de nuevo:
\[f”(x)=\frac{4}{(x-1)^3}.\]
- Para \(x<1\), \(f”(x)<0\): cóncava hacia abajo.
- Para \(x>1\), \(f”(x)>0\): cóncava hacia arriba.
La concavidad cambia en \(x=1\), pero ese valor no pertenece al dominio. Por tanto, la gráfica no tiene punto de inflexión.
7. Comprueba el comportamiento lateral cerca de la asíntota vertical
A partir de \(f(x)=x+1+2/(x-1)\):
\[\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.\]
8. Construye la gráfica y la tabla de variación
Introduce (x^2+1)/(x-1) en la calculadora gráfica. Añade x+1 como recta discontinua de comparación y marca \(x=1\). Después, utiliza la herramienta de tabla de variación para comprobar los signos de la derivada y los extremos.
Lista de comprobación para cualquier función racional
- Factoriza antes de cancelar y anota todos los valores excluidos de la expresión original.
- Distingue los huecos de las asíntotas verticales.
- Halla los cortes a partir del numerador simplificado y mediante sustitución directa.
- Utiliza la comparación de grados o la división para estudiar el comportamiento en los extremos.
- Divide las tablas de signos de la derivada tanto en las discontinuidades como en los puntos críticos.
- No llames punto de inflexión a un punto excluido.
Para explicaciones específicas, repasa las asíntotas, los extremos locales y la concavidad.