Pełna analiza funkcji wymiernej łączy algebrę, granice, pochodne i interpretację wykresu. Pracuj w ustalonej kolejności, aby nie pominąć wykluczonych wartości ani asymptot.
W tym poradniku analizujemy
\[f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}.\]
1. Wyznacz dziedzinę
Mianownik jest równy zero dla \(x=1\), więc
\[\operatorname{Dom}(f)=(-\infty,1)\cup(1,\infty).\]
Żaden czynnik nie skraca się z licznikiem, dlatego wykluczona wartość prowadzi do asymptoty pionowej, a nie do usuwalnej dziury.
2. Znajdź przecięcia z osiami
Punkt przecięcia z osią y:
\[f(0)=\frac1{-1}=-1,\]
zatem wykres przechodzi przez \((0,-1)\). Aby znaleźć miejsca zerowe, rozwiąż \(x^2+1=0\). Nie ma rozwiązań rzeczywistych, więc wykres nie przecina osi x.
3. Znajdź asymptoty przez dzielenie
Dzielenie wielomianów daje
\[\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}.\]
Zatem:
- asymptota pionowa: \(x=1\);
- asymptota ukośna: \(y=x+1\).
Wyraz resztowy dąży do zera, gdy \(|x|\to\infty\), co potwierdza asymptotę ukośną.
4. Zbadaj przedziały wzrostu i spadku
Zróżniczkuj postać po dzieleniu:
\[f'(x)=1-\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.\]
Krytyczne wartości x spełniają
\[x^2-2x-1=0\Longrightarrow x=1\pm\sqrt2.\]
Ponieważ mianownik \(f’\) jest dodatni w dziedzinie, o znaku decyduje licznik:
- funkcja rośnie na \(( -\infty,1-\sqrt2)\);
- maleje na \((1-\sqrt2,1)\);
- maleje na \((1,1+\sqrt2)\);
- rośnie na \((1+\sqrt2,\infty)\).
5. Wyznacz ekstrema lokalne
Dla \(x=1-\sqrt2\) pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, więc występuje maksimum lokalne:
\[f(1-\sqrt2)=2-2\sqrt2.\]
Dla \(x=1+\sqrt2\) pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc występuje minimum lokalne:
\[f(1+\sqrt2)=2+2\sqrt2.\]
6. Zbadaj wypukłość i wklęsłość
Zróżniczkuj ponownie:
\[f”(x)=\frac{4}{(x-1)^3}.\]
- Dla \(x<1\), \(f”(x)<0\): funkcja jest wklęsła.
- Dla \(x>1\), \(f”(x)>0\): funkcja jest wypukła.
Krzywizna zmienia się przy \(x=1\), lecz ta wartość nie należy do dziedziny. Wykres nie ma więc punktu przegięcia.
7. Sprawdź zachowanie jednostronne przy asymptocie pionowej
Z postaci \(f(x)=x+1+2/(x-1)\):
\[\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.\]
8. Zbuduj wykres i tabelę przebiegu
Wpisz (x^2+1)/(x-1) w kalkulatorze graficznym. Dodaj x+1 jako przerywaną linię porównawczą i zaznacz \(x=1\). Następnie użyj narzędzia tabeli przebiegu, aby sprawdzić znaki pochodnej i ekstrema.
Lista kontrolna dla dowolnej funkcji wymiernej
- Rozłóż na czynniki przed skracaniem i zapisz wszystkie pierwotnie wykluczone wartości.
- Odróżniaj dziury od asymptot pionowych.
- Wyznacz przecięcia z uproszczonego licznika i przez bezpośrednie podstawienie.
- Użyj porównania stopni lub dzielenia do badania zachowania na krańcach.
- Rozdzielaj tabele znaków pochodnej zarówno w nieciągłościach, jak i punktach krytycznych.
- Nie nazywaj wykluczonego punktu punktem przegięcia.
Dla bardziej szczegółowych wyjaśnień przejrzyj asymptoty, ekstrema lokalne i wypukłość oraz wklęsłość.