Rasyonel fonksiyonun tam analizi cebir, limit, türev ve grafik yorumunu birleştirir. Dışlanan değerlerin ve asimptotların kaybolmaması için sabit bir sırayla çalışın.
Bu kılavuzda
\[f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}.\]
fonksiyonunu inceleyeceğiz.
1. Tanım kümesini belirleyin
Payda \(x=1\) için sıfırdır; dolayısıyla
\[\operatorname{Dom}(f)=(-\infty,1)\cup(1,\infty).\]
Payla sadeleşen bir çarpan olmadığından dışlanan değer giderilebilir bir delik değil düşey asimptot oluşturur.
2. Eksen kesişimlerini bulun
y ekseni kesişimi
\[f(0)=\frac1{-1}=-1,\]
olduğundan grafik \((0,-1)\) noktasından geçer. x ekseni kesişimleri için \(x^2+1=0\) çözülür. Gerçek çözüm yoktur; bu nedenle grafik x eksenini kesmez.
3. Bölme işlemiyle asimptotları bulun
Polinom bölmesi
\[\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}.\]
sonucunu verir. Buna göre:
- düşey asimptot: \(x=1\);
- eğik asimptot: \(y=x+1\).
Kalan terim \(|x|\to\infty\) iken sıfıra yaklaşır; bu da eğik asimptotu doğrular.
4. Artan ve azalan aralıkları inceleyin
Bölünmüş biçimin türevini alın:
\[f'(x)=1-\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.\]
Kritik x değerleri
\[x^2-2x-1=0\Longrightarrow x=1\pm\sqrt2.\]
eşitliğini sağlar. \(f’\) paydası tanım kümesinde pozitif olduğundan işareti pay belirler:
- \(( -\infty,1-\sqrt2)\) aralığında artan;
- \((1-\sqrt2,1)\) aralığında azalan;
- \((1,1+\sqrt2)\) aralığında azalan;
- \((1+\sqrt2,\infty)\) aralığında artan.
5. Yerel ekstremumları bulun
\(x=1-\sqrt2\) noktasında türev pozitiften negatife geçtiği için yerel maksimum vardır:
\[f(1-\sqrt2)=2-2\sqrt2.\]
\(x=1+\sqrt2\) noktasında türev negatiften pozitife geçtiği için yerel minimum vardır:
\[f(1+\sqrt2)=2+2\sqrt2.\]
6. Konkavlığı inceleyin
Bir kez daha türev alın:
\[f”(x)=\frac{4}{(x-1)^3}.\]
- \(x<1\) için \(f”(x)<0\): aşağı konkav.
- \(x>1\) için \(f”(x)>0\): yukarı konkav.
Konkavlık \(x=1\) değerinde değişir; ancak bu değer tanım kümesinde değildir. Bu yüzden grafiğin büküm noktası yoktur.
7. Düşey asimptot yakınındaki tek taraflı davranışı denetleyin
\(f(x)=x+1+2/(x-1)\) biçiminden:
\[\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.\]
8. Grafiği ve değişim tablosunu oluşturun
Grafik Hesap Makinesine (x^2+1)/(x-1) yazın. Karşılaştırma için x+1 doğrusunu kesikli ekleyin ve \(x=1\) değerini işaretleyin. Ardından türev işaretlerini ve ekstremumları doğrulamak için Fonksiyon Değişim Tablosu aracını kullanın.
Her rasyonel fonksiyon için denetim listesi
- Sadeleştirmeden önce çarpanlara ayırın ve başlangıçtaki tüm dışlanan değerleri kaydedin.
- Deliklerle düşey asimptotları birbirinden ayırın.
- Eksen kesişimlerini sadeleşmiş paydan ve doğrudan yerine koymadan bulun.
- Uç davranışı için dereceleri karşılaştırın veya bölme yapın.
- Türev işaret tablolarını hem kritik noktalarda hem süreksizliklerde bölün.
- Tanım kümesi dışındaki bir noktayı büküm noktası olarak adlandırmayın.
Belirli konular için asimptotları, yerel ekstremumları ve konkavlığı gözden geçirin.