วิธีวิเคราะห์ฟังก์ชันตรรกยะอย่างครบถ้วน

การวิเคราะห์ฟังก์ชันตรรกยะอย่างครบถ้วนต้องใช้พีชคณิต ลิมิต อนุพันธ์ และการตีความกราฟร่วมกัน ควรทำตามลำดับที่แน่นอน เพื่อไม่ให้ลืมค่าที่ถูกตัดออกและเส้นกำกับ

คู่มือนี้วิเคราะห์

\[f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}.\]

1. หาโดเมน

ตัวส่วนเป็นศูนย์ที่ \(x=1\) ดังนั้น

\[\operatorname{Dom}(f)=(-\infty,1)\cup(1,\infty).\]

ไม่มีตัวประกอบใดตัดทอนกับตัวเศษ ค่าที่ถูกตัดออกจึงทำให้เกิดเส้นกำกับแนวตั้ง ไม่ใช่รูโหว่แบบขจัดได้

2. หาจุดตัดแกน

จุดตัดแกน y คือ

\[f(0)=\frac1{-1}=-1,\]

ดังนั้นกราฟผ่าน \((0,-1)\) สำหรับจุดตัดแกน x ให้แก้ \(x^2+1=0\) ซึ่งไม่มีคำตอบจริง กราฟจึงไม่ตัดแกน x

3. หาเส้นกำกับด้วยการหารพหุนาม

การหารพหุนามให้

\[\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}.\]

ดังนั้น:

• เส้นกำกับแนวตั้ง: \(x=1\)
• เส้นกำกับเอียง: \(y=x+1\)

พจน์เศษเหลือเข้าใกล้ศูนย์เมื่อ \(|x|\to\infty\) จึงยืนยันเส้นกำกับเอียง

4. วิเคราะห์ช่วงเพิ่มและช่วงลด

หาอนุพันธ์จากรูปที่หารแล้ว:

\[f'(x)=1-\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.\]

ค่า x วิกฤตเป็นคำตอบของ

\[x^2-2x-1=0\Longrightarrow x=1\pm\sqrt2.\]

เนื่องจากตัวส่วนของ \(f’\) เป็นบวกบนโดเมน ตัวเศษจึงเป็นตัวกำหนดเครื่องหมาย:

• เพิ่มบน \(( -\infty,1-\sqrt2)\)
• ลดบน \((1-\sqrt2,1)\)
• ลดบน \((1,1+\sqrt2)\)
• เพิ่มบน \((1+\sqrt2,\infty)\)

5. หาค่าสุดขีดเฉพาะที่

ที่ \(x=1-\sqrt2\) อนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ จึงเป็นค่าสูงสุดเฉพาะที่:

\[f(1-\sqrt2)=2-2\sqrt2.\]

ที่ \(x=1+\sqrt2\) อนุพันธ์เปลี่ยนจากลบเป็นบวก จึงเป็นค่าต่ำสุดเฉพาะที่:

\[f(1+\sqrt2)=2+2\sqrt2.\]

6. วิเคราะห์ความเว้า

หาอนุพันธ์อีกครั้ง:

\[f”(x)=\frac{4}{(x-1)^3}.\]

• เมื่อ \(x<1\), \(f”(x)<0\): เว้าลง
• เมื่อ \(x>1\), \(f”(x)>0\): เว้าขึ้น

ความเว้าเปลี่ยนที่ \(x=1\) แต่ค่านี้ไม่อยู่ในโดเมน ดังนั้นกราฟไม่มีจุดเปลี่ยนเว้า

7. ตรวจสอบพฤติกรรมข้างเดียวใกล้เส้นกำกับแนวตั้ง

จาก \(f(x)=x+1+2/(x-1)\):

\[\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.\]

8. สร้างกราฟและตารางการแปรผัน

ป้อน (x^2+1)/(x-1) ใน เครื่องคำนวณกราฟ เพิ่ม x+1 เป็นเส้นประสำหรับเปรียบเทียบ และทำเครื่องหมาย \(x=1\) จากนั้นใช้ เครื่องมือตารางการแปรผัน เพื่อตรวจสอบเครื่องหมายอนุพันธ์และค่าสุดขีด

รายการตรวจสอบสำหรับฟังก์ชันตรรกยะทุกข้อ

• แยกตัวประกอบก่อนตัดทอน และบันทึกค่าที่ถูกตัดออกจากนิพจน์เดิมทั้งหมด
• แยกรูโหว่ออกจากเส้นกำกับแนวตั้ง
• หาจุดตัดแกนจากตัวเศษที่ย่อแล้วและจากการแทนค่าโดยตรง
• ใช้การเปรียบเทียบดีกรีหรือการหารเพื่อวิเคราะห์พฤติกรรมเมื่อ x มีขนาดใหญ่
• แบ่งตารางเครื่องหมายของอนุพันธ์ที่จุดไม่ต่อเนื่องและจุดวิกฤต
• อย่าเรียกจุดที่ถูกตัดออกว่าเป็นจุดเปลี่ยนเว้า

สำหรับคำอธิบายเฉพาะเรื่อง ให้ทบทวน เส้นกำกับ, ค่าสุดขีดเฉพาะที่ และ ความเว้า