Полный анализ рациональной функции объединяет алгебру, пределы, производные и чтение графика. Работайте в фиксированном порядке, чтобы не потерять исключённые значения и асимптоты.
Рассмотрим функцию
\[f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}.\]
1. Определите область определения
Знаменатель равен нулю при \(x=1\), поэтому
\[\operatorname{Dom}(f)=(-\infty,1)\cup(1,\infty).\]
Общего множителя с числителем нет, поэтому исключённое значение создаёт вертикальную асимптоту, а не устранимую выколотую точку.
2. Найдите пересечения с осями
Пересечение с осью y:
\[f(0)=\frac1{-1}=-1,\]
поэтому график проходит через \((0,-1)\). Для пересечений с осью x решите \(x^2+1=0\). Действительных решений нет, значит, график не пересекает ось x.
3. Найдите асимптоты делением
Деление многочленов даёт
\[\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}.\]
Следовательно:
- вертикальная асимптота: \(x=1\);
- наклонная асимптота: \(y=x+1\).
Остаточный член стремится к нулю при \(|x|\to\infty\), что подтверждает наклонную асимптоту.
4. Исследуйте интервалы возрастания и убывания
Продифференцируйте разделённую форму:
\[f'(x)=1-\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.\]
Критические значения x удовлетворяют
\[x^2-2x-1=0\Longrightarrow x=1\pm\sqrt2.\]
Знаменатель \(f’\) положителен на области определения, поэтому знак определяется числителем:
- возрастает на \(( -\infty,1-\sqrt2)\);
- убывает на \((1-\sqrt2,1)\);
- убывает на \((1,1+\sqrt2)\);
- возрастает на \((1+\sqrt2,\infty)\).
5. Найдите локальные экстремумы
При \(x=1-\sqrt2\) производная меняет знак с плюса на минус, поэтому имеется локальный максимум:
\[f(1-\sqrt2)=2-2\sqrt2.\]
При \(x=1+\sqrt2\) производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому имеется локальный минимум:
\[f(1+\sqrt2)=2+2\sqrt2.\]
6. Исследуйте выпуклость
Ещё раз продифференцируем:
\[f”(x)=\frac{4}{(x-1)^3}.\]
- При \(x<1\) имеем \(f”(x)<0\): график выпуклый вверх.
- При \(x>1\) имеем \(f”(x)>0\): график выпуклый вниз.
Выпуклость меняется при \(x=1\), но это значение не входит в область определения. Поэтому точки перегиба нет.
7. Проверьте одностороннее поведение у вертикальной асимптоты
Из \(f(x)=x+1+2/(x-1)\) следует:
\[\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.\]
8. Постройте график и таблицу изменения
Введите (x^2+1)/(x-1) в графическом калькуляторе. Добавьте x+1 как пунктирную вспомогательную прямую и отметьте \(x=1\). Затем используйте инструмент таблицы изменения функции, чтобы проверить знаки производной и экстремумы.
Контрольный список для любой рациональной функции
- Разложите на множители до сокращения и запишите все исходно исключённые значения.
- Отличайте выколотые точки от вертикальных асимптот.
- Находите пересечения по сокращённому числителю и прямой подстановке.
- Для поведения на бесконечности сравнивайте степени или выполняйте деление.
- Разбивайте таблицу знаков производной не только в критических точках, но и в точках разрыва.
- Не называйте исключённую точку точкой перегиба.
Для отдельных тем повторите асимптоты, локальные экстремумы и выпуклость.