परिमेय फलन का पूर्ण विश्लेषण कैसे करें

परिमेय फलन का पूर्ण विश्लेषण बीजगणित, सीमाओं, अवकलजों और आलेख की व्याख्या को जोड़ता है। एक निश्चित क्रम में कार्य करें ताकि बहिष्कृत मान और अनंतस्पर्शी छूट न जाएँ।

इस मार्गदर्शिका में हम विश्लेषण करेंगे

\[f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}.\]

1. परिभाषा-क्षेत्र निर्धारित करें

हर \(x=1\) पर शून्य हो जाता है, इसलिए

\[\operatorname{Dom}(f)=(-\infty,1)\cup(1,\infty).\]

अंश के साथ कोई गुणनखंड निरस्त नहीं होता, इसलिए बहिष्कृत मान हटाने योग्य छिद्र के बजाय ऊर्ध्व अनंतस्पर्शी देता है।

2. प्रतिच्छेद ज्ञात करें

y-अक्ष प्रतिच्छेद है

\[f(0)=\frac1{-1}=-1,\]

अतः आलेख \((0,-1)\) से गुजरता है। x-अक्ष प्रतिच्छेद के लिए \(x^2+1=0\) हल करें। कोई वास्तविक हल नहीं है, इसलिए आलेख x-अक्ष को नहीं काटता।

3. भाग देकर अनंतस्पर्शी ज्ञात करें

बहुपद भाग से

\[\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}.\]

अतः:

• ऊर्ध्व अनंतस्पर्शी: \(x=1\);
• तिर्यक अनंतस्पर्शी: \(y=x+1\)।

\(|x|\to\infty\) पर शेष पद शून्य की ओर जाता है, जिससे तिर्यक अनंतस्पर्शी की पुष्टि होती है।

4. वृद्धि और ह्रास अंतरालों का विश्लेषण करें

भाग किए रूप का अवकलन करें:

\[f'(x)=1-\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.\]

क्रांतिक x-मान संतुष्ट करते हैं

\[x^2-2x-1=0\Longrightarrow x=1\pm\sqrt2.\]

परिभाषा-क्षेत्र में \(f’\) का हर धनात्मक है, इसलिए अंश चिह्न निर्धारित करता है:

• \(( -\infty,1-\sqrt2)\) पर वर्धमान;
• \((1-\sqrt2,1)\) पर ह्रासमान;
• \((1,1+\sqrt2)\) पर ह्रासमान;
• \((1+\sqrt2,\infty)\) पर वर्धमान।

5. स्थानीय चरम मान ज्ञात करें

\(x=1-\sqrt2\) पर अवकलज धन से ऋण होता है, इसलिए स्थानीय अधिकतम:

\[f(1-\sqrt2)=2-2\sqrt2.\]

\(x=1+\sqrt2\) पर अवकलज ऋण से धन होता है, इसलिए स्थानीय न्यूनतम:

\[f(1+\sqrt2)=2+2\sqrt2.\]

6. उन्नतोदरता और अवतलता का विश्लेषण करें

पुनः अवकलन करें:

\[f”(x)=\frac{4}{(x-1)^3}.\]

• \(x<1\) पर \(f”(x)<0\): अवतल।
• \(x>1\) पर \(f”(x)>0\): उन्नतोदर।

\(x=1\) पर उन्नतोदरता और अवतलता का प्रकार बदलता है, पर यह मान परिभाषा-क्षेत्र में नहीं है। अतः आलेख का कोई नति परिवर्तन बिंदु नहीं है।

7. ऊर्ध्व अनंतस्पर्शी के पास एकपक्षीय व्यवहार जाँचें

\(f(x)=x+1+2/(x-1)\) से:

\[\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.\]

8. आलेख और बढ़ाव–घटाव सारणी बनाएँ

ग्राफ़िंग कैलकुलेटर में (x^2+1)/(x-1) दर्ज करें। तुलना के लिए x+1 को डैश रेखा के रूप में जोड़ें और \(x=1\) अंकित करें। फिर अवकलज के चिह्न और चरम मान सत्यापित करने के लिए बढ़ाव–घटाव सारणी उपकरण का उपयोग करें।

किसी भी परिमेय फलन के लिए जाँच-सूची

• निरस्तीकरण से पहले गुणनखंड करें और सभी मूल बहिष्कृत मान लिखें।
• छिद्र और ऊर्ध्व अनंतस्पर्शी में अंतर करें।
• सरलीकृत अंश और प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन से प्रतिच्छेद ज्ञात करें।
• अंतिम व्यवहार के लिए घातों की तुलना या भाग का उपयोग करें।
• अवकलज की चिह्न-सारणी को क्रांतिक बिंदुओं के साथ असांतत्यों पर भी विभाजित करें।
• बहिष्कृत बिंदु को नति परिवर्तन बिंदु न कहें।

विशेष विषयों के लिए अनंतस्पर्शी, स्थानीय चरम मान और उन्नतोदरता और अवतलता दोहराएँ।