Eine vollständige Untersuchung einer gebrochenrationalen Funktion verbindet Algebra, Grenzwerte, Ableitungen und die Interpretation des Graphen. Arbeiten Sie in einer festen Reihenfolge, damit ausgeschlossene Werte und Asymptoten nicht übersehen werden.
In diesem Leitfaden untersuchen wir
\[f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}.\]
1. Den Definitionsbereich bestimmen
Der Nenner wird bei \(x=1\) null, daher gilt
\[\operatorname{Dom}(f)=(-\infty,1)\cup(1,\infty).\]
Mit dem Zähler lässt sich kein Faktor kürzen. Der ausgeschlossene Wert erzeugt deshalb eine senkrechte Asymptote und kein hebbares Loch.
2. Achsenschnittpunkte bestimmen
Der Schnittpunkt mit der y-Achse ergibt sich aus
\[f(0)=\frac1{-1}=-1,\]
also verläuft der Graph durch \((0,-1)\). Für Schnittpunkte mit der x-Achse lösen Sie \(x^2+1=0\). Es gibt keine reellen Lösungen, daher schneidet der Graph die x-Achse nicht.
3. Asymptoten durch Polynomdivision bestimmen
Die Polynomdivision liefert
\[\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}.\]
Daraus folgen:
- senkrechte Asymptote: \(x=1\);
- schiefe Asymptote: \(y=x+1\).
Der Restterm nähert sich für \(|x|\to\infty\) der null und bestätigt damit die schiefe Asymptote.
4. Wachstums- und Fallintervalle untersuchen
Leiten Sie die durch Division erhaltene Form ab:
\[f'(x)=1-\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.\]
Die kritischen x-Werte erfüllen
\[x^2-2x-1=0\Longrightarrow x=1\pm\sqrt2.\]
Da der Nenner von \(f’\) im Definitionsbereich positiv ist, bestimmt der Zähler das Vorzeichen:
- wachsend auf \(( -\infty,1-\sqrt2)\);
- fallend auf \((1-\sqrt2,1)\);
- fallend auf \((1,1+\sqrt2)\);
- wachsend auf \((1+\sqrt2,\infty)\).
5. Lokale Extrempunkte bestimmen
Bei \(x=1-\sqrt2\) wechselt die Ableitung von positiv zu negativ; dort liegt ein lokales Maximum:
\[f(1-\sqrt2)=2-2\sqrt2.\]
Bei \(x=1+\sqrt2\) wechselt die Ableitung von negativ zu positiv; dort liegt ein lokales Minimum:
\[f(1+\sqrt2)=2+2\sqrt2.\]
6. Das Krümmungsverhalten untersuchen
Leiten Sie erneut ab:
\[f”(x)=\frac{4}{(x-1)^3}.\]
- Für \(x<1\) gilt \(f”(x)<0\): rechtsgekrümmt.
- Für \(x>1\) gilt \(f”(x)>0\): linksgekrümmt.
Bei \(x=1\) wechselt das Krümmungsverhalten, dieser Wert gehört jedoch nicht zum Definitionsbereich. Daher besitzt der Graph dort keinen Wendepunkt.
7. Einseitiges Verhalten an der senkrechten Asymptote prüfen
Aus \(f(x)=x+1+2/(x-1)\) folgt:
\[\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.\]
8. Graph und Monotonietabelle erstellen
Geben Sie (x^2+1)/(x-1) im Grafikrechner ein. Fügen Sie x+1 als gestrichelte Vergleichsgerade hinzu und markieren Sie \(x=1\). Überprüfen Sie anschließend mit dem Werkzeug für Monotonietabellen die Ableitungsvorzeichen und Extrempunkte.
Checkliste für jede gebrochenrationale Funktion
- Vor dem Kürzen faktorisieren und alle ursprünglich ausgeschlossenen Werte notieren.
- Löcher von senkrechten Asymptoten unterscheiden.
- Achsenschnittpunkte aus dem vereinfachten Zähler und durch direktes Einsetzen bestimmen.
- Für das Verhalten im Unendlichen Grade vergleichen oder Polynomdivision verwenden.
- Vorzeichentabellen der Ableitung sowohl an Unstetigkeitsstellen als auch an kritischen Stellen unterteilen.
- Eine ausgeschlossene Stelle nicht als Wendepunkt bezeichnen.
Für gezielte Erklärungen lesen Sie Asymptoten, lokale Extrempunkte und Krümmungsverhalten.