Un’analisi completa di una funzione razionale combina algebra, limiti, derivate e interpretazione del grafico. Procedi in un ordine fisso per non perdere valori esclusi e asintoti.
Questa guida analizza
\[f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}.\]
1. Determina il dominio
Il denominatore si annulla in \(x=1\), quindi
\[\operatorname{Dom}(f)=(-\infty,1)\cup(1,\infty).\]
Nessun fattore si semplifica con il numeratore, quindi il valore escluso produce un asintoto verticale anziché un buco eliminabile.
2. Trova le intersezioni con gli assi
L’intercetta sull’asse y è
\[f(0)=\frac1{-1}=-1,\]
quindi il grafico passa per \((0,-1)\). Per le intersezioni con l’asse x, risolvi \(x^2+1=0\). Non esistono soluzioni reali, quindi il grafico non attraversa l’asse x.
3. Trova gli asintoti mediante divisione
La divisione polinomiale dà
\[\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}.\]
Di conseguenza:
- asintoto verticale: \(x=1\);
- asintoto obliquo: \(y=x+1\).
Il termine di resto tende a zero quando \(|x|\to\infty\), confermando l’asintoto obliquo.
4. Analizza gli intervalli di crescita e decrescita
Deriva la forma ottenuta dalla divisione:
\[f'(x)=1-\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.\]
I valori critici di x soddisfano
\[x^2-2x-1=0\Longrightarrow x=1\pm\sqrt2.\]
Poiché il denominatore di \(f’\) è positivo nel dominio, il numeratore determina il segno:
- crescente in \(( -\infty,1-\sqrt2)\);
- decrescente in \((1-\sqrt2,1)\);
- decrescente in \((1,1+\sqrt2)\);
- crescente in \((1+\sqrt2,\infty)\).
5. Trova gli estremi locali
In \(x=1-\sqrt2\), la derivata passa da positiva a negativa, dando un massimo locale:
\[f(1-\sqrt2)=2-2\sqrt2.\]
In \(x=1+\sqrt2\), la derivata passa da negativa a positiva, dando un minimo locale:
\[f(1+\sqrt2)=2+2\sqrt2.\]
6. Analizza la concavità
Deriva nuovamente:
\[f”(x)=\frac{4}{(x-1)^3}.\]
- Per \(x<1\), \(f”(x)<0\): concavità verso il basso.
- Per \(x>1\), \(f”(x)>0\): concavità verso l’alto.
La concavità cambia in \(x=1\), ma questo valore non appartiene al dominio. Pertanto il grafico non ha punti di flesso.
7. Controlla il comportamento laterale vicino all’asintoto verticale
Dalla forma \(f(x)=x+1+2/(x-1)\):
\[\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.\]
8. Costruisci il grafico e la tabella di variazione
Inserisci (x^2+1)/(x-1) nella Calcolatrice grafica. Aggiungi x+1 come retta tratteggiata di confronto e indica \(x=1\). Poi usa lo strumento Tabella di variazione per verificare i segni della derivata e gli estremi.
Lista di controllo per qualsiasi funzione razionale
- Scomponi in fattori prima di semplificare e registra tutti i valori esclusi dell’espressione originale.
- Distingui i buchi dagli asintoti verticali.
- Trova le intersezioni dal numeratore semplificato e con la sostituzione diretta.
- Usa il confronto dei gradi o la divisione per il comportamento all’infinito.
- Dividi le tabelle dei segni della derivata in corrispondenza delle discontinuità e dei punti critici.
- Non chiamare punto di flesso un punto escluso.
Per spiegazioni specifiche, ripassa gli asintoti, gli estremi locali e la concavità.