Analisis lengkap fungsi rasional menggabungkan aljabar, limit, turunan, dan penafsiran grafik. Kerjakan dalam urutan yang tetap agar nilai yang dikecualikan dan asimptot tidak terlewat.
Panduan ini menganalisis
\[f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}.\]
1. Tentukan domain
Penyebut bernilai nol pada \(x=1\), sehingga
\[\operatorname{Dom}(f)=(-\infty,1)\cup(1,\infty).\]
Tidak ada faktor yang dapat dicoret dengan pembilang, sehingga nilai yang dikecualikan menghasilkan asimptot vertikal, bukan lubang yang dapat dihilangkan.
2. Tentukan titik potong sumbu
Titik potong dengan sumbu y adalah
\[f(0)=\frac1{-1}=-1,\]
sehingga grafik melalui \((0,-1)\). Untuk titik potong dengan sumbu x, selesaikan \(x^2+1=0\). Tidak ada solusi real, sehingga grafik tidak memotong sumbu x.
3. Tentukan asimptot dengan pembagian
Pembagian polinomial memberikan
\[\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}.\]
Jadi:
- asimptot vertikal: \(x=1\);
- asimptot miring: \(y=x+1\).
Suku sisa mendekati nol ketika \(|x|\to\infty\), yang menegaskan asimptot miring tersebut.
4. Analisis interval naik dan turun
Turunkan bentuk hasil pembagian:
\[f'(x)=1-\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.\]
Nilai x kritis memenuhi
\[x^2-2x-1=0\Longrightarrow x=1\pm\sqrt2.\]
Karena penyebut \(f’\) positif pada domain, pembilang menentukan tandanya:
- naik pada \(( -\infty,1-\sqrt2)\);
- turun pada \((1-\sqrt2,1)\);
- turun pada \((1,1+\sqrt2)\);
- naik pada \((1+\sqrt2,\infty)\).
5. Tentukan ekstremum lokal
Pada \(x=1-\sqrt2\), turunan berubah dari positif menjadi negatif, sehingga diperoleh maksimum lokal:
\[f(1-\sqrt2)=2-2\sqrt2.\]
Pada \(x=1+\sqrt2\), turunan berubah dari negatif menjadi positif, sehingga diperoleh minimum lokal:
\[f(1+\sqrt2)=2+2\sqrt2.\]
6. Analisis kecekungan
Turunkan sekali lagi:
\[f”(x)=\frac{4}{(x-1)^3}.\]
- Untuk \(x<1\), \(f”(x)<0\): cekung ke bawah.
- Untuk \(x>1\), \(f”(x)>0\): cekung ke atas.
Kecekungan berubah pada \(x=1\), tetapi nilai tersebut tidak berada dalam domain. Oleh karena itu, grafik tidak memiliki titik belok.
7. Periksa perilaku satu sisi di dekat asimptot vertikal
Dari \(f(x)=x+1+2/(x-1)\):
\[\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.\]
8. Buat grafik dan tabel variasi
Masukkan (x^2+1)/(x-1) di Kalkulator Grafik. Tambahkan x+1 sebagai garis pembanding putus-putus dan tandai \(x=1\). Kemudian gunakan alat Tabel Variasi untuk memeriksa tanda turunan dan ekstremumnya.
Daftar periksa untuk setiap fungsi rasional
- Faktorkan sebelum mencoret dan catat semua nilai yang dikecualikan dari bentuk asal.
- Bedakan lubang dari asimptot vertikal.
- Tentukan titik potong dari pembilang yang telah disederhanakan dan substitusi langsung.
- Gunakan perbandingan derajat atau pembagian untuk perilaku ujung.
- Pisahkan tabel tanda turunan pada diskontinuitas serta titik kritis.
- Jangan menyebut titik yang dikecualikan sebagai titik belok.
Untuk penjelasan yang lebih terfokus, tinjau asimptot, ekstremum lokal, dan kecekungan.