Een volledige analyse van een rationale functie combineert algebra, limieten, afgeleiden en grafiekinterpretatie. Werk in een vaste volgorde, zodat uitgesloten waarden en asymptoten niet verloren gaan.
In deze handleiding analyseren we
\[f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}.\]
1. Bepaal het domein
De noemer is nul bij \(x=1\), dus
\[\operatorname{Dom}(f)=(-\infty,1)\cup(1,\infty).\]
Geen factor valt weg tegen de teller. De uitgesloten waarde geeft daarom een verticale asymptoot en geen ophefbaar gat.
2. Zoek de snijpunten met de assen
Het snijpunt met de y-as volgt uit
\[f(0)=\frac1{-1}=-1,\]
dus de grafiek gaat door \((0,-1)\). Voor snijpunten met de x-as lossen we \(x^2+1=0\) op. Er zijn geen reële oplossingen, zodat de grafiek de x-as niet snijdt.
3. Bepaal asymptoten met een deling
Een veeltermdeling geeft
\[\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}.\]
Daarom:
- verticale asymptoot: \(x=1\);
- schuine asymptoot: \(y=x+1\).
De restterm nadert nul wanneer \(|x|\to\infty\), wat de schuine asymptoot bevestigt.
4. Analyseer stijgende en dalende intervallen
Differentieer de gedeelde vorm:
\[f'(x)=1-\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.\]
De kritieke x-waarden voldoen aan
\[x^2-2x-1=0\Longrightarrow x=1\pm\sqrt2.\]
Omdat de noemer van \(f’\) positief is op het domein, bepaalt de teller het teken:
- stijgend op \(( -\infty,1-\sqrt2)\);
- dalend op \((1-\sqrt2,1)\);
- dalend op \((1,1+\sqrt2)\);
- stijgend op \((1+\sqrt2,\infty)\).
5. Bepaal lokale extrema
Bij \(x=1-\sqrt2\) verandert de afgeleide van positief naar negatief. Er is dus een lokaal maximum:
\[f(1-\sqrt2)=2-2\sqrt2.\]
Bij \(x=1+\sqrt2\) verandert de afgeleide van negatief naar positief. Er is dus een lokaal minimum:
\[f(1+\sqrt2)=2+2\sqrt2.\]
6. Analyseer de kromming
Differentieer opnieuw:
\[f”(x)=\frac{4}{(x-1)^3}.\]
- Voor \(x<1\) geldt \(f”(x)<0\): hol naar beneden.
- Voor \(x>1\) geldt \(f”(x)>0\): hol naar boven.
De kromming verandert bij \(x=1\), maar die waarde ligt niet in het domein. De grafiek heeft daarom geen buigpunt.
7. Controleer het eenzijdige gedrag bij de verticale asymptoot
Uit \(f(x)=x+1+2/(x-1)\) volgt:
\[\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.\]
8. Maak de grafiek en verloopstabel
Voer (x^2+1)/(x-1) in de grafische rekenmachine in. Voeg x+1 toe als gestreepte vergelijkingslijn en markeer \(x=1\). Gebruik daarna het hulpmiddel voor verloopstabellen om de tekens van de afgeleide en de extrema te controleren.
Controlelijst voor elke rationale functie
- Ontbind in factoren vóór het wegdelen en noteer alle oorspronkelijk uitgesloten waarden.
- Onderscheid gaten van verticale asymptoten.
- Bepaal snijpunten met de assen uit de vereenvoudigde teller en rechtstreekse substitutie.
- Gebruik graadvergelijking of deling voor het eindgedrag.
- Splits tekenschema’s van de afgeleide zowel bij discontinuïteiten als bij kritieke punten.
- Noem een uitgesloten punt geen buigpunt.
Bekijk voor gerichte uitleg asymptoten, lokale extrema en kromming.