Eine Asymptote beschreibt eine Gerade, der sich ein Graph in bestimmter Richtung annähert. Für eine zuverlässige Bestimmung genügt die Grafik allein nicht; Definitionsbereich und Grenzwerte gehören dazu.
Vertikale Asymptoten
Bei einer gebrochenrationalen Funktion sind Nullstellen des Nenners Kandidaten. Für \(f(x)=\frac1{x-2}\) gilt
\[\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=\infty.\]
Damit ist \(x=2\) eine vertikale Asymptote.
Horizontale Asymptoten
Berechnen Sie die Grenzwerte für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\). Nähert sich der Funktionswert einer Konstanten \(L\), ist \(y=L\) eine horizontale Asymptote.
Schiefe Asymptoten
Ist der Zählergrad genau um eins größer als der Nennergrad, liefert die Polynomdivision häufig eine Gerade \(y=mx+b\). Der Restterm muss für große Beträge von x gegen null gehen.
Loch oder Asymptote?
Bei \(\frac{x^2-1}{x-1}\) kürzt sich der Faktor \(x-1\). Es entsteht ein Loch bei \((1,2)\), aber keine vertikale Asymptote.
Grafisch kontrollieren
Zeichnen Sie die vermutete Asymptote als zusätzliche Gerade. Vergrößern Sie den Bereich, ohne eine bloße Annäherung im kleinen Fenster mit einem Grenzwert zu verwechseln.
Funktion und Asymptoten gemeinsam zeichnen →
Für eine vollständige Kurvendiskussion lesen Sie die Anleitung zur Monotonietabelle.