漸近線は、グラフがある方向で限りなく近づく直線です。画面だけで判断せず、定義域と極限を合わせて確認します。
垂直漸近線
有理関数では分母が0になる点が候補です。\(f(x)=\frac1{x-2}\) では
\[\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=\infty\]
なので、\(x=2\) は垂直漸近線です。
水平漸近線
\(x\to\infty\) と \(x\to-\infty\) の極限を調べます。極限が定数 \(L\) なら、\(y=L\) が水平漸近線です。
斜漸近線
分子の次数が分母より1大きい場合、多項式の割り算で \(y=mx+b\) の形が得られることがあります。余りの項が無限遠で0に近づくことを確認します。
穴との違い
\(\frac{x^2-1}{x-1}\) は約分できますが、\((1,2)\) に穴が残ります。ここは垂直漸近線ではありません。
グラフで確認する
候補の漸近線を直線として重ねて描きます。ただし、狭い表示範囲で近く見えるだけでは証明になりません。
続いて、増減表の作り方を確認します。