Tiệm cận là đường thẳng mô tả hành vi giới hạn của đồ thị. Tiệm cận đứng liên quan đến giá trị đầu vào bị loại; tiệm cận ngang và xiên mô tả hành vi khi x tiến tới vô cực.
Tiệm cận đứng
Tiệm cận đứng có dạng x=a. Với hàm phân thức, hãy tìm nghiệm của mẫu số rồi kiểm tra xem nhân tử đó có bị rút gọn hay không.
f(x)=1/(x-2) có tiệm cận đứng x=2. Ngược lại, (x^2-4)/(x-2) rút gọn thành x+2 với x≠2, nên tại x=2 là điểm khuyết chứ không phải tiệm cận đứng.
Tiệm cận ngang
Tiệm cận ngang có dạng y=L, trong đó f(x) tiến tới L khi x→+∞, x→-∞ hoặc cả hai.
Với f(x)=(2x+1)/(x-3), tử và mẫu cùng bậc. Tỉ số hệ số dẫn đầu là 2, nên tiệm cận ngang là y=2.
Tiệm cận xiên
Tiệm cận xiên thường có dạng y=mx+b và xuất hiện khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng một đơn vị. Chia đa thức:
(x^2+1)/(x-1)=x+1+2/(x-1)Vì phần 2/(x-1) tiến tới 0 khi |x| lớn, tiệm cận xiên là y=x+1.
Đồ thị có thể cắt tiệm cận không?
Đồ thị không thể cắt tiệm cận đứng vì hàm không xác định trên đường đó. Tuy nhiên, nó có thể cắt tiệm cận ngang hoặc xiên tại những giá trị x hữu hạn; các tiệm cận này chỉ mô tả hành vi ở vô cực.
Quy trình kiểm tra trên đồ thị
- Nhập hàm vào Máy tính vẽ đồ thị.
- Chọn cửa sổ nhìn thấy hai phía của tiệm cận đứng nghi ngờ.
- Thêm đường tiệm cận như một đối tượng riêng nếu cần.
- Thu nhỏ để quan sát hành vi ở xa.
- Xác nhận bằng đại số hoặc giới hạn.
Lỗi thường gặp
- Coi mọi nghiệm của mẫu là tiệm cận đứng mà không kiểm tra rút gọn.
- Cho rằng đồ thị không thể cắt tiệm cận ngang.
- Dùng cửa sổ quá nhỏ để kết luận hành vi ở vô cực.
- Nhầm tiệm cận xiên với tiếp tuyến.
- Bỏ qua việc giới hạn ở
+∞và-∞có thể khác nhau.
Vẽ ba ví dụ và thêm các đường tiệm cận →
Khi đã biết tập xác định và hành vi giới hạn, bảng biến thiên sẽ tóm tắt toàn bộ hàm số.