كيفية إيجاد المقاربات الرأسية والأفقية والمائلة

المقارب خط يصف سلوك المنحنى قرب قيمة مستبعدة أو عند اللانهاية. لا يكفي أن يبدو المنحنى قريباً من خط؛ يجب تأكيد ذلك بالنهايات أو القسمة الجبرية.

المقارب الرأسي

ابحث عن قيم تجعل المقام صفراً بعد اختصار العوامل المشتركة. للدالة \(f(x)=1/(x-2)\) يكون \(x=2\) مقارباً رأسياً لأن قيم الدالة تكبر بلا حد قربه.

لكن في \((x^2-1)/(x-1)\) يختصر العامل \(x-1\) وتبقى فجوة عند \(x=1\) لا مقارب رأسي.

المقارب الأفقي

للدالة الكسرية قارن درجتي البسط والمقام. إذا كانت درجة البسط أصغر فالمقارب عادة \(y=0\). وإذا تساوت الدرجتان فالمقارب هو نسبة المعاملين الرئيسيين. مثلاً للدالة \((2x^2+1)/(x^2-3)\) يكون \(y=2\).

المقارب المائل

إذا زادت درجة البسط على المقام بواحد، اقسم كثيري الحدود. في المثال \((x^2+1)/(x-1)\) نحصل على \(x+1+2/(x-1)\)، لذلك المقارب المائل هو \(y=x+1\).

التحقق بالرسم

ارسم الدالة وخطوط المقارب بألوان مختلفة، ووسّع النطاق للتحقق من السلوك بعيداً عن الأصل. لا تتوقع أن يمنع المقارب الأفقي المنحنى من قطعه؛ فهو يصف السلوك عند اللانهاية.

راجع كذلك المجال والمدى والتحليل بالمشتقات.

النهايات هي الاختبار الحاسم

لإثبات مقارب رأسي \(x=a\) افحص النهاية من اليمين واليسار. يكفي أن تتجه إحدى النهايتين إلى \(\pm\infty\). ولإثبات مقارب أفقي \(y=L\) احسب النهاية عندما \(x\to\infty\) أو \(x\to-\infty\)؛ وقد يختلف المقارب في الجهتين.

ضع المقاربات في الرسم كعناصر مساعدة

أضف خطاً متقطعاً لكل مقارب وسمّه بوضوح. لا تصل فرعي المنحنى عبر المقارب الرأسي. عند التصدير اختر لوناً لا يلتبس مع الدالة، واحتفظ بالمقارب أخف سماكة حتى يبقى المنحنى هو العنصر الرئيس.