كيفية إيجاد مجال الدالة ومداها من الرسم

المجال هو مجموعة قيم \(x\) التي تكون الدالة معرّفة عندها، والمدى هو مجموعة القيم الناتجة \(y\). يساعد الرسم على رؤيتهما، لكن يجب دعمه بتحليل الصيغة.

قراءة المجال أفقياً

تخيّل إسقاط المنحنى على محور \(x\). كل قيمة أفقية يمر عندها المنحنى تدخل في المجال. النقطة المفتوحة تستبعد القيمة، بينما النقطة المغلقة تشملها.

مثلاً للدالة \(f(x)=\sqrt{x-2}\) يبدأ الرسم عند \((2,0)\) ويمتد يميناً، لذلك المجال هو \([2,\infty)\).

قراءة المدى رأسياً

أسقط المنحنى على محور \(y\). للدالة السابقة لا تقل القيم عن الصفر، ومن ثم المدى \([0,\infty)\).

الفجوات والمقاربات

للدالة \(f(x)=1/(x-1)\) مقارب رأسي عند \(x=1\)، لذا المجال \(( -\infty,1)\cup(1,\infty)\). ولا تأخذ الدالة القيمة صفر، فيكون المدى أيضاً \(( -\infty,0)\cup(0,\infty)\).

خطوات التحقق

1. ابحث عن مقام يساوي صفراً.
2. افحص ما تحت الجذر الزوجي.
3. افحص وسيط اللوغاريتم.
4. لاحظ النقط المفتوحة والمغلقة.
5. وسّع نافذة الرسم حتى لا تظن أن نهاية الشاشة هي نهاية المجال.

جرّب الأمثلة في حاسبة الرسوم، ثم انتقل إلى دليل المقاربات.

المجال من الصيغة قبل الرسم

ابدأ دائماً بالقيود الجبرية. يجب أن يكون مقام الكسر غير صفري، وما تحت الجذر الزوجي غير سالب، ووسيط اللوغاريتم موجباً. بعد ذلك استخدم الرسم للتأكد من الفترات والنهايات. هذه الطريقة تمنع الخطأ الشائع المتمثل في اعتبار انقطاع الرسم الناتج عن دقة الشاشة جزءاً مستبعداً من المجال.

المدى قد يحتاج إلى المشتقة

إذا لم يكن أدنى أو أعلى قيمة ظاهراً بوضوح، احسب النقاط الحرجة أو أعد كتابة الدالة. للدالة التربيعية يمكن استعمال صورة الرأس، وللدالة الكسرية يمكن حل المعادلة \(y=f(x)\) بالنسبة إلى \(x\) ثم تحديد قيم \(y\) الممكنة. اجمع بين الرسم والحساب بدل الاعتماد على حافة نافذة العرض.