函數分析

如何由函數圖形判斷定義域與值域

August 2, 2026 onlinegraphing.com

定義域回答“哪些 x 可以代入”，值域回答“函數可能得到哪些 y”。圖形能快速給出直觀答案，但端點、空心點和漸近線必須仔細區分。

1. 從水平範圍讀取定義域

把圖形投影到 x 軸。曲線出現過的全部 x 值組成定義域。實心端點包含在區間內，空心端點不包含。

把圖形投影到 y 軸。曲線達到過的全部 y 值組成值域。最大值、最小值、水平漸近線和無限延伸方向都會影響答案。

\(f(x)=\sqrt{x-1}\) 的定義域為 \([1,+\infty)\)，值域為 \([0,+\infty)\)
\(f(x)=1/(x-2)\) 的定義域為 \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\)，值域為 \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)
\(f(x)=x^2\) 的定義域為 \(\mathbb{R}\)，值域為 \([0,+\infty)\)

偶次根號內必須非負，分母不能為零，對數真數必須為正。圖形只是輔助，最終結果應同時符合這些條件。

在繪圖計算機中調整檢視範圍，再閱讀如何判斷漸近線。

圖形在檢視範圍邊緣停止並不代表定義域在此結束；曲線可能只是繼續延伸到可見範圍之外。反之，接近某條直線也不表示函數真正達到該值。

對於分段函數，要分別讀取每個分支，再把區間合併。區間表示法中圓括號表示端點不包含，方括號表示端點包含。