Une asymptote est une droite qui décrit le comportement limite d’une courbe. Les asymptotes verticales sont liées à certaines valeurs interdites ; les asymptotes horizontales et obliques décrivent le comportement à l’infini.
Asymptotes verticales
Une asymptote verticale a la forme x=a. Pour une fonction rationnelle, cherchez les zéros du dénominateur après simplification. 1/(x-2) possède l’asymptote x=2.
En revanche, (x^2-4)/(x-2) se simplifie en x+2 pour x≠2. En x=2, il y a un trou et non une asymptote verticale.
Asymptotes horizontales
Une droite y=L est asymptote horizontale si f(x) tend vers L lorsque x tend vers +∞, -∞ ou les deux.
Pour f(x)=(2x+1)/(x-3), le numérateur et le dénominateur ont le même degré. Le rapport des coefficients dominants vaut 2, donc y=2 est asymptote horizontale.
Asymptotes obliques
Lorsque le degré du numérateur dépasse celui du dénominateur d’une unité, effectuez une division polynomiale :
(x^2+1)/(x-1)=x+1+2/(x-1)Le dernier terme tend vers 0 lorsque |x| devient grand ; l’asymptote oblique est donc y=x+1.
Une courbe peut-elle couper une asymptote ?
Elle ne peut pas couper une asymptote verticale, car la fonction n’y est pas définie. Elle peut cependant couper une asymptote horizontale ou oblique pour une valeur finie de x.
Procédure graphique
- Saisissez la fonction.
- Affichez les deux côtés de l’asymptote verticale supposée.
- Ajoutez la droite asymptote comme objet distinct.
- Dézoomez pour observer le comportement lointain.
- Confirmez avec une limite ou un calcul algébrique.
Erreurs fréquentes
- Traiter tout zéro du dénominateur comme une asymptote sans simplifier.
- Penser qu’une asymptote horizontale ne peut jamais être coupée.
- Conclure à partir d’une fenêtre trop petite.
- Confondre asymptote oblique et tangente.
Tracer les exemples et leurs asymptotes →
Une fois le domaine et les limites connus, résumez le comportement avec un tableau de variations.