Un tableau de variations résume le domaine, le signe de la dérivée, les intervalles de croissance et de décroissance, les extremums, les limites et les discontinuités d’une fonction.
Méthode standard
- Déterminer le domaine réel de
f. - Calculer
f′(x). - Trouver les valeurs où
f′(x)=0ou n’existe pas. - Découper le domaine à ces valeurs et aux discontinuités.
- Déterminer le signe de
f′sur chaque intervalle. - Calculer les valeurs et limites utiles.
- Tracer les flèches de variation dans la ligne de
f(x).
Exemple : f(x)=x^3-3x
Le domaine est R et f′(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1). Les nombres critiques sont -1 et 1.
| Intervalle | Signe de f′ | Variation de f |
|---|---|---|
(-∞,-1) |
Positif | Croissante |
(-1,1) |
Négatif | Décroissante |
(1,+∞) |
Positif | Croissante |
Comme f(-1)=2 et f(1)=-2, (-1,2) est un maximum local et (1,-2) un minimum local.
Contenu du tableau
La ligne x contient -∞, -1, 1, +∞. La ligne f′(x) contient les signes +, 0, -, 0, +. La ligne f(x) monte jusqu’à 2, descend jusqu’à -2, puis remonte.
Discontinuités et valeurs exclues
Pour une fonction rationnelle ou logarithmique, ajoutez les frontières du domaine et les asymptotes verticales. Les limites à gauche et à droite doivent être présentées séparément lorsqu’elles diffèrent.
Créer le tableau en ligne
Ouvrez l’outil Tableau de variations, choisissez la fonction et le domaine, puis lancez le calcul. Vous pouvez ensuite modifier les étiquettes, les traits, les flèches et les valeurs exactes avant l’exportation.
Vérification
- Chaque intervalle doit appartenir au domaine.
- Le signe de la dérivée doit correspondre au sens des flèches.
- Les valeurs d’extremum doivent être calculées avec la fonction d’origine.
- L’infini représente une limite, pas une valeur ordinaire.
Approfondissez avec la détermination des intervalles de croissance et de décroissance.