Eine Monotonietabelle fasst Definitionsbereich, Ableitungszeichen, Monotonie und besondere Funktionswerte in einer kompakten Darstellung zusammen.
1. Definitionsbereich bestimmen
Markieren Sie ausgeschlossene Stellen und Intervallgrenzen. Diese Punkte teilen die Zahlengerade bereits vor der Ableitungsanalyse.
2. Erste Ableitung berechnen
Für \(f(x)=x^3-3x\) gilt
\[f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).\]
3. Kritische Stellen ordnen
Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=-1\) und \(x=1\). Sie zerlegen den Definitionsbereich in \(( -\infty,-1)\), \((-1,1)\) und \((1,\infty)\).
4. Vorzeichen der Ableitung bestimmen
- \(f'(x)>0\) auf den äußeren Intervallen: f wächst.
- \(f'(x)<0\) im mittleren Intervall: f fällt.
5. Funktionswerte und Pfeile eintragen
\(f(-1)=2\) ist ein lokales Maximum, \(f(1)=-2\) ein lokales Minimum. Tragen Sie zusätzlich Grenzwerte oder Werte an Definitionslücken ein.
6. Tabelle prüfen
Die Pfeilrichtung muss zum Vorzeichen von \(f’\) passen. Kritische Stellen gehören in die x-Zeile, nicht als eigenständige Intervalle.
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Mehr Details finden Sie unter Wachstums- und Fallintervalle bestimmen.