يلخّص جدول التغيّر سلوك الدالة على مجالها: أين تتزايد أو تتناقص، وما قيمها القصوى، وكيف تتصرف عند أطراف المجال أو المقاربات.
مثال: دالة تكعيبية
خذ \(f(x)=x^3-3x\). مشتقتها هي:
النقطتان الحرجتان هما \(x=-1\) و\(x=1\). إشارة المشتقة موجبة عندما \(x<-1\)، وسالبة على \((-1,1)\)، ثم موجبة عندما \(x>1\).
ترجمة الإشارة إلى أسهم
- \(f'(x)>0\): الدالة متزايدة.
- \(f'(x)<0\): الدالة متناقصة.
- تغيّر الإشارة من موجب إلى سالب يعطي قيمة عظمى محلية.
- تغيّر الإشارة من سالب إلى موجب يعطي قيمة صغرى محلية.
نحسب \(f(-1)=2\) و\(f(1)=-2\). لذا يظهر في الجدول ارتفاع حتى \(2\)، ثم انخفاض حتى \(-2\)، ثم ارتفاع من جديد.
إنشاء الجدول في الأداة
افتح أداة جدول التغيّر، وأدخل الدالة أو البيانات المطلوبة، وتحقق من المجال والنقاط الحرجة والقيم الدقيقة قبل التصدير. اختر نوع الجدول الملائم لنظامك الدراسي.
قائمة فحص
- حدّد المجال.
- احسب المشتقة.
- جد النقاط الحرجة وعدم الاتصال.
- أنشئ جدول إشارة للمشتقة.
- احسب قيم الدالة والنهايات.
- قارن النتيجة بالرسم.
اقرأ أيضاً فترات التزايد والتناقص وجدول إشارة المشتقة.
النهايات وأطراف المجال
لا يكتمل جدول التغيّر بإشارات المشتقة وحدها. احسب نهايات الدالة عند أطراف المجال وعند نقاط عدم الاتصال. إذا كان المجال مغلقاً فأدخل قيم الطرفين، وإذا وُجد مقارب رأسي فضع خط الانقطاع والقيم اللانهائية المناسبة على جانبيه. لا ترسم سهماً يمر عبر قيمة غير موجودة في المجال.
مراجعة الجدول قبل التصدير
اقرأ كل عمود رأسياً: قيمة \(x\)، ثم حالة المشتقة، ثم قيمة الدالة. تأكد من أن السهم الصاعد يقابل علامة موجبة والهابط علامة سالبة. قارن القيم القصوى بالرسم، ثم راجع شكل الكسور والجذور واللانهايات عند التكبير.