増減表は、定義域、導関数の符号、関数の増減、極値、極限を一つの表にまとめたものです。
1. 定義域を確認する
定義されない点や区間の端点を先に並べます。これらの点で数直線が分割されます。
2. 一次導関数を求める
\(f(x)=x^3-3x\) なら
\[f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\]
3. 臨界点を並べる
\(f'(x)=0\) より \(x=-1,1\)。定義域は \(( -\infty,-1)\)、\((-1,1)\)、\((1,\infty)\) に分かれます。
4. 導関数の符号を調べる
- 外側の区間では \(f'(x)>0\) なので増加。
- 中央の区間では \(f'(x)<0\) なので減少。
5. 極値と矢印を入れる
\(f(-1)=2\) は極大、\(f(1)=-2\) は極小です。極限や不連続点がある場合も同じ表に示します。
6. 最終確認
導関数が正なら上向き、負なら下向きの矢印になります。xの行、\(f'(x)\) の行、\(f(x)\) の行が対応しているか確認します。
次に、増加区間と減少区間の求め方を読みます。