Bảng biến thiên cô đọng những đặc điểm chính của hàm số trong vài hàng: tập xác định, dấu đạo hàm bậc nhất, khoảng đồng biến–nghịch biến, cực trị, giới hạn và điểm gián đoạn.
Quy trình chuẩn
- Tìm tập xác định thực của
f. - Tính
f′(x). - Tìm các số tới hạn nơi
f′(x)=0hoặc đạo hàm không xác định. - Chia tập xác định tại các số tới hạn và điểm gián đoạn.
- Xác định dấu của
f′trên từng khoảng. - Tính giá trị hàm và giới hạn tại các điểm quan trọng.
- Vẽ mũi tên tăng, giảm trong hàng
f(x).
Ví dụ: f(x)=x^3-3x
Tập xác định là R. Đạo hàm:
f′(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).
Hai số tới hạn là x=-1 và x=1.
| Khoảng | Dấu của f′ | Biến thiên của f |
|---|---|---|
(-∞,-1) |
Dương | Đồng biến |
(-1,1) |
Âm | Nghịch biến |
(1,+∞) |
Dương | Đồng biến |
f(-1)=2 và f(1)=-2. Vì vậy (-1,2) là điểm cực đại, còn (1,-2) là điểm cực tiểu.
Các hàng trong bảng
Hàng x chứa -∞, -1, 1, +∞. Hàng f′(x) có dấu +, 0, -, 0, +. Hàng f(x) tăng lên 2, giảm xuống -2 rồi lại tăng.
Gián đoạn và giá trị bị loại
Với hàm phân thức hoặc logarit, hãy thêm biên tập xác định và tiệm cận đứng. Nếu giới hạn trái và phải khác nhau, cần trình bày riêng.
Lập bảng trực tuyến
Mở công cụ Bảng biến thiên, chọn hàm số, chọn tập xác định thực hoặc khoảng tùy chỉnh rồi tính toán. Sau đó bạn có thể chỉnh nhãn, nét, mũi tên, giá trị chính xác và chú thích trước khi xuất.
Kiểm tra kết quả
- Mọi khoảng đều phải nằm trong tập xác định.
- Dấu đạo hàm phải khớp với hướng mũi tên.
- Giá trị cực trị phải tính bằng hàm gốc.
- Ký hiệu vô cực biểu thị giới hạn, không phải một giá trị thông thường.
- Chỉnh sửa thủ công không thay thế việc kiểm chứng toán học.
Lập bảng biến thiên cho x^3-3x →
Để hiểu sâu hơn phần dấu đạo hàm, xem cách xác định khoảng đồng biến và nghịch biến.