점근선은 함수가 특정 방향에서 가까워지는 직선입니다. 그래프만 보고 추측하기보다 대수적 조건과 극한을 함께 확인해야 합니다.
1. 수직 점근선
유리함수에서는 약분 후 분모가 0이 되는 값을 먼저 살펴봅니다. 예를 들어 \(f(x)=\frac{1}{x-2}\)는 \(x=2\)에서 발산하므로 수직 점근선은 \(x=2\)입니다.
2. 수평 점근선
\(x\to\pm\infty\)일 때의 극한을 계산합니다. 유리함수에서는 분자와 분모의 차수를 비교하면 빠릅니다.
- 분자 차수 < 분모 차수: \(y=0\)
- 차수가 같음: 최고차항 계수의 비
- 분자 차수 > 분모 차수: 일반적으로 수평 점근선 없음
3. 사선 점근선
분자의 차수가 분모보다 정확히 1 높으면 다항식 나눗셈을 합니다. 몫이 \(mx+b\)이면 사선 점근선은 \(y=mx+b\)입니다.
4. 구멍과 점근선을 구분하기
공통인수가 약분되어 사라지는 점은 제거 가능한 불연속, 즉 구멍일 수 있습니다. 그 점을 수직 점근선으로 잘못 판단하지 마세요.