Una asíntota es una recta que describe el comportamiento límite de una gráfica. Las asíntotas verticales se relacionan con ciertos valores excluidos; las horizontales y oblicuas describen el comportamiento cuando x tiende al infinito.
Asíntotas verticales
Una asíntota vertical tiene la forma x=a. En una función racional, busca los ceros del denominador después de simplificar. 1/(x-2) tiene la asíntota x=2.
En cambio, (x^2-4)/(x-2) se simplifica a x+2 para x≠2. En x=2 existe un hueco, no una asíntota vertical.
Asíntotas horizontales
y=L es una asíntota horizontal si f(x) se aproxima a L cuando x→+∞, x→-∞ o ambos.
Para f(x)=(2x+1)/(x-3), numerador y denominador tienen el mismo grado. El cociente de los coeficientes principales es 2, por lo que y=2 es la asíntota horizontal.
Asíntotas oblicuas
Si el grado del numerador supera al del denominador en una unidad, divide los polinomios:
(x^2+1)/(x-1)=x+1+2/(x-1)El último término tiende a 0 cuando |x| crece, así que la asíntota oblicua es y=x+1.
¿Puede una gráfica cruzar una asíntota?
No puede cruzar una asíntota vertical porque la función no está definida allí. Sí puede cruzar una asíntota horizontal u oblicua para valores finitos de x.
Procedimiento gráfico
- Introduce la función.
- Muestra ambos lados de la posible asíntota vertical.
- Añade la recta asintótica como un objeto independiente.
- Aleja la vista para estudiar el comportamiento lejano.
- Confirma el resultado con límites o álgebra.
Errores frecuentes
- Tomar cada cero del denominador como asíntota sin simplificar.
- Creer que una gráfica nunca puede cruzar una asíntota horizontal.
- Concluir a partir de una ventana demasiado pequeña.
- Confundir una asíntota oblicua con una tangente.
Graficar los ejemplos y sus asíntotas →
Después de estudiar dominio y límites, resume el comportamiento con una tabla de variación.