分段函數在定義域的不同部分使用不同的解析式。真正的難點通常不是畫出每個解析式，而是為每個分支應用正確的區間，並明確表示分界點是否包含在該分支中。
快捷方法：為每個分支新增一個函數物件，將物件限制在題目給定的區間內；若圖形需要明確表示端點是否取到，再新增空心點或實心點。
1. 逐個分支讀取函數定義
例如
\[f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0,\\2x+1,&x\ge 0.\end{cases}\]
第一個分支是拋物線 \(y=x^2\) 的左半部分。第二個分支是直線 \(y=2x+1\) 中從 \(x=0\) 開始的部分。若把整條拋物線和整條直線都畫出來，就會得到錯誤的圖形，因為每條規則只在各自的區間內有效。
2. 為每個分支建立受限圖形
- 開啟線上繪圖計算機。
- 新增第一個函數並輸入
x^2。 - 使用函數的區間或條件設定，只保留 \(x<0\) 的部分。
- 新增第二個函數並輸入
2*x+1。 - 將第二個分支限制為 \(x\ge0\)。
如果當前繪圖模式允許直接輸入條件，可以直接使用這些不等式；否則，把各分支作為獨立物件並分別設定定義域限制，會更清楚，也更便於修改。
3. 正確處理空心端點和實心端點
在 \(x=0\) 處，第一個分支趨近於 \(0\)，但由於條件是嚴格不等號條件，因此不包含該點。第二個分支包含 \(x=0\)，所以 \(f(0)=1\)。
- 在 \((0,0)\) 處放置空心點，表示該端點不包含在第一個分支中。
- 在 \((0,1)\) 處放置實心點，表示該端點包含在第二個分支中。
即使曲線較粗或檢視範圍較小，這些端點標記也能清楚顯示函數發生了跳躍。
4. 在每個分界點檢查連續性
在分界點 \(x=a\) 處，應比較
\[\lim_{x\to a^-}f(x),\qquad \lim_{x\to a^+}f(x),\qquad f(a).\]
在本例中，零點處的左極限為 \(0\)，右極限為 \(1\)，並且 \(f(0)=1\)。由於兩個單側極限不相等，函數在零點處存在跳躍不連續。
5. 一個連續的分段函數範例
再考慮
\[g(x)=\begin{cases}x+2,&x<1,\\x^2,&x\ge1.\end{cases}\]
左側函數值趨近於 \(3\)，而右側分支從 \(1\) 開始，因此這個函數並不連續。若要讓兩個分支相接，可將第二個分支改為 \((x-1)^2+3\)。這樣兩側都會在 \((1,3)\) 處相接。
常見錯誤
- 把每個解析式都畫在整個實數軸上。
- 誤用 \(<\)，而定義要求使用 \(\le\)，或反過來。
- 把端點標記放在錯誤的分支上。
- 僅因為當前縮放比例下兩個分支看起來很接近，就認為函數連續。
- 忽略定義域中可能存在沒有任何分支適用的空缺區間。
匯出清晰的結果
相鄰分支可使用對比明顯的顏色，端點標記應足夠大以便看清；如果圖形之後需要放大，優先匯出 SVG。若將來還要修改區間，也應同時儲存 OGP 專案。
接下來可閱讀如何區分可去不連續、跳躍不連續和無窮不連續，或復習如何從圖形判斷定義域和值域。