Funkcja określona przedziałami używa różnych wzorów na różnych częściach swojej dziedziny. Największą trudnością nie jest narysowanie poszczególnych wzorów, lecz zastosowanie właściwego przedziału do każdej gałęzi oraz pokazanie, czy punkty brzegowe należą do wykresu.
Szybka metoda: dodaj osobny obiekt funkcji dla każdej gałęzi, ogranicz go do podanego przedziału, a następnie zaznacz otwarte lub domknięte końce tam, gdzie trzeba jednoznacznie pokazać przynależność punktu.
1. Odczytaj definicję gałąź po gałęzi
Rozważmy
\[f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0,\\2x+1,&x\ge 0.\end{cases}\]
Pierwsza gałąź to lewa połowa paraboli \(y=x^2\). Druga gałąź to część prostej \(y=2x+1\) zaczynająca się przy \(x=0\). Narysowanie całej paraboli i całej prostej byłoby błędne, ponieważ każdy wzór obowiązuje tylko na swoim przedziale.
2. Utwórz osobny ograniczony wykres dla każdej gałęzi
- Otwórz kalkulator graficzny OnlineGraphing.
- Dodaj pierwszą funkcję i wpisz
x^2. - W ustawieniach przedziału lub warunku pozostaw tylko \(x<0\).
- Dodaj drugą funkcję i wpisz
2*x+1. - Ogranicz drugą gałąź do \(x\ge0\).
Jeśli bieżący tryb wykresu pozwala wpisać warunek bezpośrednio, użyj tych samych nierówności. W przeciwnym razie osobne obiekty z ograniczeniami dziedziny są czytelniejsze i łatwiejsze do edycji.
3. Poprawnie zaznacz końce otwarte i domknięte
Dla \(x=0\) pierwsza gałąź dąży do \(0\), ale nie zawiera tego punktu, ponieważ warunek jest ostry. Druga gałąź zawiera \(x=0\), więc \(f(0)=1\).
- Umieść otwarty punkt w \((0,0)\) dla wyłączonego końca.
- Umieść pełny punkt w \((0,1)\) dla końca należącego do wykresu.
Takie znaczniki pokazują skok nawet wtedy, gdy linia jest gruba albo okno wykresu małe.
4. Sprawdź ciągłość na każdej granicy
W punkcie granicznym \(x=a\) porównaj
\[\lim_{x\to a^-}f(x),\qquad \lim_{x\to a^+}f(x),\qquad f(a).\]
W tym przykładzie granica lewostronna w zerze wynosi \(0\), granica prawostronna \(1\), a \(f(0)=1\). Ponieważ granice jednostronne są różne, funkcja ma w zerze nieciągłość skokową.
5. Przykład z kontrolą ciągłości
Rozważmy teraz
\[g(x)=\begin{cases}x+2,&x<1,\\x^2,&x\ge1.\end{cases}\]
Wartość z lewej strony dąży do \(3\), a prawa gałąź zaczyna się od \(1\), więc funkcja nie jest ciągła. Aby gałęzie się połączyły, użyj \((x-1)^2+3\) jako drugiej gałęzi. Wtedy obie części spotkają się w punkcie \((1,3)\).
Najczęstsze błędy
- Rysowanie każdego wzoru na całej osi rzeczywistej.
- Użycie \(<\), gdy definicja wymaga \(\le\), lub odwrotnie.
- Umieszczenie znacznika końca na niewłaściwej gałęzi.
- Założenie ciągłości tylko dlatego, że gałęzie wyglądają na bliskie przy aktualnym powiększeniu.
- Pominięcie przerw w dziedzinie, w których nie obowiązuje żadna gałąź.
Wyeksportuj czytelny wynik
Użyj kontrastowych kolorów dla sąsiednich gałęzi, ustaw wystarczająco duże znaczniki końców i wybierz SVG, jeśli wykres będzie powiększany. Zachowaj także projekt OGP, jeżeli później chcesz zmieniać przedziały.
Następnie przeczytaj jak rozróżniać nieciągłości usuwalne, skokowe i nieskończone albo powtórz dziedzinę i zbiór wartości z wykresu.