Nieciągłość występuje w \(x=a\), gdy funkcja nie jest w tym punkcie ciągła. Ciągłość wymaga spełnienia wszystkich trzech warunków:
- \(f(a)\) istnieje;
- \(\lim_{x\to a}f(x)\) istnieje;
- \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
Różne niespełnione warunki prowadzą do różnych rodzajów nieciągłości.
1. Nieciągłość usuwalna: dziura
Rozważmy
\[f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.\]
Dla \(x\ne1\) wyrażenie upraszcza się do \(x+1\), lecz pierwotna funkcja nie jest określona dla \(x=1\). Wykres jest prostą \(y=x+1\) z dziurą w \((1,2)\).
Granica istnieje:
\[\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2,\]
ale \(f(1)\) nie istnieje. Zdefiniowanie \(f(1)=2\) usunęłoby nieciągłość.
2. Nieciągłość skokowa
Dla
\[g(x)=\begin{cases}x+1,&x<0,\\x+3,&x\ge0,\end{cases}\]
granice jednostronne wynoszą
\[\lim_{x\to0^-}g(x)=1,\qquad \lim_{x\to0^+}g(x)=3.\]
Ponieważ granice jednostronne są skończone, ale różne, granica obustronna nie istnieje. Wykres przeskakuje z jednej wysokości na drugą.
3. Nieciągłość nieskończona
Dla \(h(x)=1/(x-2)\) funkcja rośnie bez ograniczeń w pobliżu \(x=2\):
\[\lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty.\]
Prosta \(x=2\) jest asymptotą pionową, a funkcja ma tam nieciągłość nieskończoną.
4. Nieciągłość oscylacyjna
Nie każda nieciągłość nieusuwalna jest skokiem lub asymptotą pionową. Funkcja
\[q(x)=\sin\left(\frac1x\right),\qquad x\ne0,\]
oscyluje nieskończenie wiele razy, gdy \(x\to0\). Granica nie istnieje, ponieważ wartości nie zbliżają się ani do jednej liczby, ani do jednej nieskończoności.
5. Niezawodna procedura klasyfikacji
- Sprawdź, czy wzór jest określony dla \(x=a\).
- Oblicz lub oszacuj osobno granicę lewostronną i prawostronną.
- Jeżeli są równe i skończone, porównaj wspólną granicę z \(f(a)\).
- Jeżeli są skończone, ale różne, rozpoznaj skok.
- Jeżeli którakolwiek strona jest nieograniczona, rozpoznaj nieciągłość nieskończoną.
- Jeżeli wartości oscylują bez ustalenia, rozpoznaj nieciągłość oscylacyjną.
6. Ostrzeżenia dotyczące wykresu
Wykres może połączyć punkty po obu stronach wąskiej nieciągłości, jeśli krok próbkowania jest zbyt duży. Powiększ okolice podejrzanej wartości x i potwierdź wynik analitycznymi granicami. Dziura może być słabo widoczna bez otwartego znacznika. Asymptotę pionową należy odróżnić od bardzo stromego, lecz skończonego odcinka.
Użyj kalkulatora graficznego, aby porównać przykłady. Konstrukcję gałęzi krok po kroku opisuje artykuł o funkcjach określonych przedziałami; asymptoty pionowe omawia poradnik o asymptotach.