함수가 \(x=a\)에서 연속이 아니면 그 점에서 불연속이 발생합니다. 연속이려면 다음 세 조건을 모두 만족해야 합니다.
- \(f(a)\)가 존재한다.
- \(\lim_{x\to a}f(x)\)가 존재한다.
- \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)이다.
어떤 조건이 성립하지 않는지에 따라 불연속의 종류가 달라집니다.
1. 제거 가능 불연속: 구멍
다음을 생각해 봅시다.
\[f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.\]
\(x\ne1\)에서는 식이 \(x+1\)로 약분되지만 원래 함수는 \(x=1\)에서 정의되지 않습니다. 그래프는 직선 \(y=x+1\)에서 \((1,2)\)에 구멍이 난 모양입니다.
극한은 존재하여
\[\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2,\]
이지만 \(f(1)\)은 존재하지 않습니다. \(f(1)=2\)로 정의하면 불연속을 제거할 수 있습니다.
2. 점프 불연속
다음 함수에서
\[g(x)=\begin{cases}x+1,&x<0,\\x+3,&x\ge0,\end{cases}\]
좌우 극한은
\[\lim_{x\to0^-}g(x)=1,\qquad \lim_{x\to0^+}g(x)=3.\]
입니다. 두 값이 유한하지만 서로 다르므로 양쪽 극한은 존재하지 않습니다. 그래프가 한 높이에서 다른 높이로 뛰어오릅니다.
3. 무한 불연속
\(h(x)=1/(x-2)\)는 \(x=2\) 근처에서 크기가 한없이 커집니다.
\[\lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty.\]
직선 \(x=2\)는 수직점근선이며 함수는 이 점에서 무한 불연속입니다.
4. 진동 불연속
제거할 수 없는 불연속이 모두 점프나 수직점근선인 것은 아닙니다.
\[q(x)=\sin\left(\frac1x\right),\qquad x\ne0,\]
는 \(x\to0\)일 때 무한히 많이 진동합니다. 값이 하나의 수나 하나의 무한대로 가까워지지 않으므로 극한이 존재하지 않습니다.
5. 신뢰할 수 있는 분류 절차
- \(x=a\)에서 식이 정의되는지 확인합니다.
- 좌극한과 우극한을 따로 계산하거나 추정합니다.
- 두 극한이 같고 유한하면 공통 극한과 \(f(a)\)를 비교합니다.
- 유한하지만 서로 다르면 점프 불연속으로 분류합니다.
- 한쪽이라도 발산하면 무한 불연속으로 분류합니다.
- 값이 안정되지 않고 진동하면 진동 불연속으로 분류합니다.
6. 그래프를 볼 때 주의할 점
표본 간격이 너무 크면 그래프가 좁은 불연속 구간을 가로질러 점을 연결할 수 있습니다. 의심되는 x값 주변을 확대하고 해석적인 극한으로 확인하십시오. 제거 가능한 구멍은 열린 점 표시를 추가하지 않으면 잘 보이지 않을 수 있습니다. 수직점근선은 매우 가파르지만 유한한 구간과 구분해야 합니다.
그래프 계산기에서 예들을 비교하십시오. 조각을 만드는 과정은 구간별 정의 함수, 수직점근선은 점근선 안내를 참고하십시오.