Una discontinuidad aparece en \(x=a\) cuando una función no es continua en ese punto. La continuidad exige las tres condiciones siguientes:
- \(f(a)\) existe;
- \(\lim_{x\to a}f(x)\) existe;
- \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
Los distintos incumplimientos producen tipos diferentes de discontinuidad.
1. Discontinuidad evitable: un hueco
Considera
\[f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.\]
Para \(x\ne1\), la expresión se simplifica a \(x+1\), pero la función original no está definida en \(x=1\). La gráfica es la recta \(y=x+1\) con un hueco en \((1,2)\).
El límite existe:
\[\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2,\]
pero \(f(1)\) no existe. Definir \(f(1)=2\) eliminaría la discontinuidad.
2. Discontinuidad de salto
Para
\[g(x)=\begin{cases}x+1,&x<0,\\x+3,&x\ge0,\end{cases}\]
los límites laterales son
\[\lim_{x\to0^-}g(x)=1,\qquad \lim_{x\to0^+}g(x)=3.\]
Como los límites laterales son finitos pero distintos, el límite bilateral no existe. La gráfica salta de una altura a otra.
3. Discontinuidad infinita
Para \(h(x)=1/(x-2)\), la función crece sin límite cerca de \(x=2\):
\[\lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty.\]
La recta \(x=2\) es una asíntota vertical y la función tiene allí una discontinuidad infinita.
4. Discontinuidad oscilatoria
No toda discontinuidad no evitable es un salto o una asíntota vertical. La función
\[q(x)=\sin\left(\frac1x\right),\qquad x\ne0,\]
oscila infinitas veces cuando \(x\to0\). El límite no existe porque los valores no se aproximan a un único número ni a un único infinito.
5. Procedimiento fiable de clasificación
- Comprueba si la fórmula está definida en \(x=a\).
- Calcula o estima por separado los límites por la izquierda y por la derecha.
- Si coinciden y son finitos, compara el límite común con \(f(a)\).
- Si son finitos pero distintos, clasifica la discontinuidad como salto.
- Si alguno de los lados no está acotado, clasifícala como discontinuidad infinita.
- Si los valores oscilan sin estabilizarse, clasifícala como discontinuidad oscilatoria.
6. Precauciones al interpretar la gráfica
Una representación puede unir puntos a través de una discontinuidad estrecha si el intervalo de muestreo es demasiado grande. Amplía la zona cercana al valor de x sospechoso y confirma el resultado con límites analíticos. Un hueco evitable puede resultar difícil de ver si no añades un marcador de punto abierto. También debes distinguir una asíntota vertical de un tramo muy inclinado, pero finito.
Utiliza la calculadora gráfica para comparar los ejemplos. Para construir las ramas paso a paso, consulta las funciones definidas a trozos; para las asíntotas verticales, consulta la guía de asíntotas.