\(x=a\) पर असांतत्य तब होता है जब फलन वहाँ संतत न हो। सांतत्य के लिए तीनों शर्तें आवश्यक हैं:
- \(f(a)\) विद्यमान हो;
- \(\lim_{x\to a}f(x)\) विद्यमान हो;
- \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\) हो।
अलग शर्तों के विफल होने से अलग प्रकार के असांतत्य उत्पन्न होते हैं।
1. हटाने योग्य असांतत्य: एक छिद्र
विचार करें
\[f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.\]
\(x\ne1\) के लिए व्यंजक \(x+1\) बन जाता है, पर मूल फलन \(x=1\) पर अपरिभाषित है। आलेख रेखा \(y=x+1\) है, जिसमें \((1,2)\) पर छिद्र है।
सीमा विद्यमान है:
\[\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2,\]
पर \(f(1)\) विद्यमान नहीं। \(f(1)=2\) परिभाषित करने से असांतत्य हट जाएगा।
2. छलाँग असांतत्य
फलन
\[g(x)=\begin{cases}x+1,&x<0,\\x+3,&x\ge0,\end{cases}\]
के एकपक्षीय सीमा-मान हैं
\[\lim_{x\to0^-}g(x)=1,\qquad \lim_{x\to0^+}g(x)=3.\]
दोनों सीमाएँ परिमित पर असमान हैं, इसलिए द्विपक्षीय सीमा विद्यमान नहीं। आलेख एक ऊँचाई से दूसरी पर छलाँग लगाता है।
3. अनंत असांतत्य
\(h(x)=1/(x-2)\) के लिए फलन \(x=2\) के निकट अपरिमित रूप से बढ़ता है:
\[\lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty.\]
रेखा \(x=2\) ऊर्ध्व अनंतस्पर्शी है और वहाँ फलन में अनंत असांतत्य है।
4. दोलनी असांतत्य
हर अहटाने योग्य असांतत्य छलाँग या ऊर्ध्व अनंतस्पर्शी नहीं होता। फलन
\[q(x)=\sin\left(\frac1x\right),\qquad x\ne0,\]
\(x\to0\) पर अनंत बार दोलित होता है। मान किसी एक संख्या या एक अनंत की ओर नहीं जाते, इसलिए सीमा विद्यमान नहीं।
5. विश्वसनीय वर्गीकरण प्रक्रिया
- जाँचें कि सूत्र \(x=a\) पर परिभाषित है या नहीं।
- बाएँ और दाएँ हाथ की सीमाएँ अलग-अलग निकालें या अनुमानित करें।
- यदि वे समान और परिमित हों, तो उस साझा सीमा की तुलना \(f(a)\) से करें।
- यदि वे परिमित पर असमान हों, तो छलाँग असांतत्य मानें।
- यदि कोई एक पक्ष अपरिमित हो, तो अनंत असांतत्य मानें।
- यदि मान स्थिर हुए बिना दोलित हों, तो दोलनी असांतत्य मानें।
6. आलेखन में सावधानियाँ
नमूना-अंतराल बहुत बड़ा होने पर आलेख संकरे असांतत्य के आर-पार बिंदुओं को जोड़ सकता है। संदिग्ध x-मान के निकट ज़ूम करें और विश्लेषणात्मक सीमाओं से पुष्टि करें। खुला बिंदु न जोड़ने पर हटाने योग्य छिद्र देखना कठिन हो सकता है। तीखे पर परिमित भाग को ऊर्ध्व अनंतस्पर्शी न समझें।
उदाहरणों की तुलना के लिए ग्राफ़िंग कैलकुलेटर का उपयोग करें। शाखाएँ बनाने की क्रमिक विधि के लिए खंडवार फलन और ऊर्ध्व अनंतस्पर्शियों के लिए अनंतस्पर्शी मार्गदर्शिका देखें।