Bir fonksiyon \(x=a\) noktasında sürekli değilse orada süreksizlik vardır. Süreklilik için şu üç koşulun tümü gerekir:
- \(f(a)\) tanımlıdır;
- \(\lim_{x\to a}f(x)\) vardır;
- \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
Farklı koşulların bozulması farklı süreksizlik türleri oluşturur.
1. Giderilebilir süreksizlik: delik
Şunu ele alalım:
\[f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.\]
\(x\ne1\) için ifade \(x+1\) biçimine sadeleşir, ancak asıl fonksiyon \(x=1\) noktasında tanımsızdır. Grafik, \(y=x+1\) doğrusu üzerinde \((1,2)\) noktasında bir delik içerir.
Limit vardır:
\[\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2,\]
fakat \(f(1)\) yoktur. \(f(1)=2\) olarak tanımlamak süreksizliği giderir.
2. Sıçrama süreksizliği
Şu fonksiyon için:
\[g(x)=\begin{cases}x+1,&x<0,\\x+3,&x\ge0,\end{cases}\]
tek taraflı limitler
\[\lim_{x\to0^-}g(x)=1,\qquad \lim_{x\to0^+}g(x)=3.\]
olur. Limitler sonlu ama eşit olmadığından iki taraflı limit yoktur. Grafik bir yükseklikten diğerine sıçrar.
3. Sonsuz süreksizlik
\(h(x)=1/(x-2)\) için fonksiyon \(x=2\) yakınında sınırsız büyür:
\[\lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty.\]
\(x=2\) doğrusu düşey asimptottur ve fonksiyonun burada sonsuz süreksizliği vardır.
4. Salınımlı süreksizlik
Her giderilemeyen süreksizlik sıçrama veya düşey asimptot değildir. Şu fonksiyon:
\[q(x)=\sin\left(\frac1x\right),\qquad x\ne0,\]
\(x\to0\) iken sonsuz kez salınır. Değerler tek bir sayıya ya da tek bir sonsuzluğa yaklaşmadığından limit yoktur.
5. Güvenilir bir sınıflandırma yöntemi
- Formülün \(x=a\) için tanımlı olup olmadığını denetleyin.
- Soldan ve sağdan limitleri ayrı ayrı hesaplayın veya tahmin edin.
- Eşit ve sonluysalar ortak limiti \(f(a)\) ile karşılaştırın.
- Sonlu ama eşit değillerse sıçrama olarak sınıflandırın.
- Taraflardan biri sınırsızsa sonsuz süreksizlik olarak sınıflandırın.
- Değerler yerleşmeden salınıyorsa salınımlı süreksizlik olarak sınıflandırın.
6. Grafik çiziminde dikkat edilmesi gerekenler
Örnekleme aralığı çok kaba olduğunda çizim dar bir süreksizliğin iki yanındaki noktaları birleştirebilir. Şüpheli x değerinin çevresine yakınlaşın ve analitik limitlerle doğrulayın. Giderilebilir bir deliği açık nokta işareti eklemeden görmek zor olabilir. Düşey asimptotu çok dik ama sonlu bir parçadan ayırın.
Örnekleri Grafik Hesap Makinesinde karşılaştırın. Dalların adım adım kurulumu için parçalı fonksiyonlara, düşey asimptotlar için asimptot kılavuzuna bakın.