Een discontinuïteit treedt op bij \(x=a\) wanneer een functie daar niet continu is. Continuïteit vereist alle drie de voorwaarden:
- \(f(a)\) bestaat;
- \(\lim_{x\to a}f(x)\) bestaat;
- \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
Verschillende tekortkomingen geven verschillende soorten discontinuïteit.
1. Ophefbare discontinuïteit: een gat
Beschouw
\[f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.\]
Voor \(x\ne1\) vereenvoudigt de uitdrukking tot \(x+1\), maar de oorspronkelijke functie is bij \(x=1\) niet gedefinieerd. De grafiek is de rechte \(y=x+1\) met een gat in \((1,2)\).
De limiet bestaat:
\[\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2,\]
maar \(f(1)\) bestaat niet. Door \(f(1)=2\) te definiëren, wordt de discontinuïteit opgeheven.
2. Sprongdiscontinuïteit
Voor
\[g(x)=\begin{cases}x+1,&x<0,\\x+3,&x\ge0,\end{cases}\]
zijn de eenzijdige limieten
\[\lim_{x\to0^-}g(x)=1,\qquad \lim_{x\to0^+}g(x)=3.\]
Omdat de eenzijdige limieten eindig maar ongelijk zijn, bestaat de tweezijdige limiet niet. De grafiek springt van de ene hoogte naar de andere.
3. Oneindige discontinuïteit
Voor \(h(x)=1/(x-2)\) groeit de functie onbegrensd nabij \(x=2\):
\[\lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty.\]
De rechte \(x=2\) is een verticale asymptoot en de functie heeft daar een oneindige discontinuïteit.
4. Oscillerende discontinuïteit
Niet elke niet-ophefbare discontinuïteit is een sprong of verticale asymptoot. De functie
\[q(x)=\sin\left(\frac1x\right),\qquad x\ne0,\]
oscilleert oneindig vaak als \(x\to0\). De limiet bestaat niet, omdat de waarden niet naar één getal of naar één oneindigheid naderen.
5. Een betrouwbare classificatieprocedure
- Controleer of de formule bij \(x=a\) is gedefinieerd.
- Bereken of schat de linker- en rechterlimiet afzonderlijk.
- Als ze gelijk en eindig zijn, vergelijk de gemeenschappelijke limiet met \(f(a)\).
- Als ze eindig maar ongelijk zijn, classificeer de discontinuïteit als een sprong.
- Als een van beide zijden onbegrensd is, classificeer haar als oneindig.
- Als de waarden blijven oscilleren zonder te stabiliseren, classificeer haar als oscillatoir.
6. Aandachtspunten bij het tekenen
Een grafiek kan punten over een smalle discontinuïteit verbinden wanneer het bemonsteringsinterval te grof is. Zoom in rond de verdachte x-waarde en gebruik analytische limieten ter bevestiging. Een ophefbaar gat is soms moeilijk zichtbaar zonder een open-puntmarkering. Onderscheid een verticale asymptoot van een steil maar eindig segment.
Gebruik de grafische rekenmachine om de voorbeelden te vergelijken. Zie voor de stapsgewijze opbouw van takken stukgewijs gedefinieerde functies; zie voor verticale asymptoten de asymptotenhandleiding.