يحدث عدم الاتصال عند \(x=a\) عندما لا تكون الدالة متصلة هناك. ويتطلب الاتصال تحقق الشروط الثلاثة:
- أن تكون \(f(a)\) موجودة؛
- أن تكون \(\lim_{x\to a}f(x)\) موجودة؛
- أن يكون \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
ويؤدي فشل كل شرط بطريقة مختلفة إلى نوع مختلف من عدم الاتصال.
1. عدم اتصال قابل للإزالة: ثقب
تأمل
\[f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.\]
عندما \(x\ne1\) يُبسَّط التعبير إلى \(x+1\)، لكن الدالة الأصلية غير معرّفة عند \(x=1\). الرسم هو المستقيم \(y=x+1\) مع ثقب عند \((1,2)\).
النهاية موجودة:
\[\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2,\]
لكن \(f(1)\) غير موجودة. وتعريف \(f(1)=2\) يزيل عدم الاتصال.
2. عدم اتصال قفزي
للدالة
\[g(x)=\begin{cases}x+1,&x<0,\\x+3,&x\ge0,\end{cases}\]
النهايتان الأحاديتان هما
\[\lim_{x\to0^-}g(x)=1,\qquad \lim_{x\to0^+}g(x)=3.\]
لأن النهايتين محدودتان لكنهما غير متساويتين، فالنهاية الثنائية غير موجودة. يقفز الرسم من ارتفاع إلى آخر.
3. عدم اتصال لانهائي
للدالة \(h(x)=1/(x-2)\) تكبر القيم بلا حد قرب \(x=2\):
\[\lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty.\]
المستقيم \(x=2\) مقارب رأسي، وللدالة عنده عدم اتصال لانهائي.
4. عدم اتصال تذبذبي
ليس كل عدم اتصال غير قابل للإزالة قفزة أو مقاربًا رأسيًا. فالدالة
\[q(x)=\sin\left(\frac1x\right),\qquad x\ne0,\]
تتذبذب عددًا لا نهائيًا من المرات عندما \(x\to0\). لا توجد النهاية لأن القيم لا تقترب من عدد واحد ولا من لا نهاية واحدة.
5. إجراء موثوق للتصنيف
- تحقق هل الصيغة معرّفة عند \(x=a\).
- احسب أو قدّر النهايتين اليسرى واليمنى كلًا على حدة.
- إذا اتفقتا وكانتا محدودتين، فقارن النهاية المشتركة بـ \(f(a)\).
- إذا كانتا محدودتين وغير متساويتين، فصنّف الحالة على أنها قفزة.
- إذا كانت إحدى الجهتين غير محدودة، فصنّفها عدم اتصال لانهائيًا.
- إذا تذبذبت القيم من غير استقرار، فصنّفها عدم اتصال تذبذبيًا.
6. احتياطات عند الرسم
قد يصل الرسم نقاطًا عبر عدم اتصال ضيق إذا كانت خطوة أخذ العينات كبيرة جدًا. كبّر المنطقة قرب قيمة x المشتبه بها واستخدم النهايات التحليلية للتأكيد. وقد يصعب رؤية الثقب القابل للإزالة من غير علامة نقطة مفتوحة. كما ينبغي التمييز بين المقارب الرأسي وقطعة شديدة الانحدار لكنها محدودة.
استخدم حاسبة الرسوم البيانية لمقارنة الأمثلة. ولإنشاء الفروع خطوة بخطوة راجع الدوال المعرّفة على أجزاء، وللمقاربات الرأسية راجع دليل المقاربات.