تستخدم الدالة المعرّفة على أجزاء صيغًا مختلفة في أجزاء مختلفة من مجالها. ولا تكمن الصعوبة الأساسية في رسم كل صيغة، بل في تطبيق المجال الصحيح على كل فرع وبيان ما إذا كانت نقاط الحدود داخلة في الدالة أم لا.
طريقة سريعة: أضف كائن دالة مستقلًا لكل فرع، وقيّد كل كائن بالمجال المحدد له، ثم ضع نقاط نهاية مفتوحة أو مغلقة عندما يلزم إظهار الاشتمال بوضوح.
1. اقرأ التعريف فرعًا فرعًا
تأمل
\[f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0,\\2x+1,&x\ge 0.\end{cases}\]
الفرع الأول هو النصف الأيسر من القطع المكافئ \(y=x^2\). والفرع الثاني هو جزء المستقيم \(y=2x+1\) الذي يبدأ عند \(x=0\). سيكون رسم القطع المكافئ والمستقيم كاملين خطأً، لأن كل قاعدة صالحة فقط في مجالها الخاص.
2. أنشئ رسمًا مقيّدًا لكل فرع
- افتح حاسبة الرسوم البيانية عبر الإنترنت.
- أضف الدالة الأولى وأدخل
x^2. - استخدم عناصر التحكم في المجال أو الشرط للاحتفاظ بالجزء \(x<0\) فقط.
- أضف دالة ثانية وأدخل
2*x+1. - قيّد الفرع الثاني بالشرط \(x\ge0\).
إذا كان نمط الرسم الحالي يقبل شرطًا مباشرة، فاستخدم المتباينات نفسها فيه. وإلا فإن استخدام كائنات منفصلة مع قيود المجال يكون أوضح وأسهل في التحرير.
3. عالج نقاط النهاية المفتوحة والمغلقة
عند \(x=0\) يقترب الفرع الأول من \(0\) لكنه لا يشتمل عليه لأن شرطه صارم. أما الفرع الثاني فيشمل \(x=0\)، ولذلك \(f(0)=1\).
- ضع نقطة مفتوحة عند \((0,0)\) لنقطة النهاية المستبعدة.
- ضع نقطة ممتلئة عند \((0,1)\) لنقطة النهاية المشمولة.
تجعل علامات النهايات القفزة ظاهرة حتى عندما يكون المنحنى سميكًا أو نافذة العرض صغيرة.
4. افحص الاتصال عند كل حد
عند الحد \(x=a\) قارن بين
\[\lim_{x\to a^-}f(x),\qquad \lim_{x\to a^+}f(x),\qquad f(a).\]
في هذا المثال، النهاية اليسرى عند الصفر هي \(0\)، والنهاية اليمنى هي \(1\)، كما أن \(f(0)=1\). ولأن النهايتين الأحاديتين مختلفتان، فالدالة لها عدم اتصال قفزي عند الصفر.
5. مثال على دالة معرّفة على أجزاء متصلة
تأمل الآن
\[g(x)=\begin{cases}x+2,&x<1,\\x^2,&x\ge1.\end{cases}\]
تقترب القيمة من اليسار من \(3\)، بينما يبدأ الفرع الأيمن عند \(1\)، ولذلك فالمثال غير متصل. ولجعل الفرعين يلتقيان استخدم \((x-1)^2+3\) للفرع الثاني؛ وعندئذ يلتقيان عند \((1,3)\).
أخطاء شائعة
- رسم كل صيغة على خط الأعداد الحقيقية كله.
- استخدام \(<\) عندما يتطلب التعريف \(\le\) أو العكس.
- وضع علامة نقطة النهاية على الفرع الخطأ.
- افتراض اتصال فرعين لمجرد أنهما يبدوان متقاربين عند مستوى التكبير الحالي.
- نسيان أن المجال قد يحتوي فجوات لا ينطبق فيها أي فرع.
صدّر نتيجة واضحة
استخدم ألوانًا متباينة للفروع المتجاورة، واجعل علامات النهايات كبيرة بما يكفي، وصدّر بصيغة SVG إذا كان الرسم سيُكبَّر. واحفظ مشروع OGP أيضًا إذا كنت تريد تعديل المجالات لاحقًا.
بعد ذلك اقرأ كيفية التمييز بين عدم الاتصال القابل للإزالة والقفزي واللانهائي، أو راجع المجال والمدى من الرسم البياني.