分段函数在定义域的不同部分使用不同的解析式。真正的难点通常不是画出每个解析式，而是为每个分支应用正确的区间，并明确表示分界点是否包含在该分支中。
快捷方法：为每个分支添加一个函数对象，将对象限制在题目给定的区间内；若图像需要明确表示端点是否取到，再添加空心点或实心点。
1. 逐个分支读取函数定义
例如
\[f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0,\\2x+1,&x\ge 0.\end{cases}\]
第一个分支是抛物线 \(y=x^2\) 的左半部分。第二个分支是直线 \(y=2x+1\) 中从 \(x=0\) 开始的部分。若把整条抛物线和整条直线都画出来，就会得到错误的图像，因为每条规则只在各自的区间内有效。
2. 为每个分支建立受限图像
- 打开在线绘图计算器。
- 添加第一个函数并输入
x^2。 - 使用函数的区间或条件设置，只保留 \(x<0\) 的部分。
- 添加第二个函数并输入
2*x+1。 - 将第二个分支限制为 \(x\ge0\)。
如果当前绘图模式允许直接输入条件，可以直接使用这些不等式；否则，把各分支作为独立对象并分别设置定义域限制，会更清楚，也更便于修改。
3. 正确处理空心端点和实心端点
在 \(x=0\) 处，第一个分支趋近于 \(0\)，但由于条件是严格不等式，因此不包含该点。第二个分支包含 \(x=0\)，所以 \(f(0)=1\)。
- 在 \((0,0)\) 处放置空心点，表示该端点不包含在第一个分支中。
- 在 \((0,1)\) 处放置实心点，表示该端点包含在第二个分支中。
即使曲线较粗或观察窗口较小，这些端点标记也能清楚显示函数发生了跳跃。
4. 在每个分界点检查连续性
在分界点 \(x=a\) 处，应比较
\[\lim_{x\to a^-}f(x),\qquad \lim_{x\to a^+}f(x),\qquad f(a).\]
在本例中，零点处的左极限为 \(0\)，右极限为 \(1\)，并且 \(f(0)=1\)。由于两个单侧极限不相等，函数在零点处存在跳跃间断。
5. 一个连续的分段函数示例
再考虑
\[g(x)=\begin{cases}x+2,&x<1,\\x^2,&x\ge1.\end{cases}\]
左侧函数值趋近于 \(3\)，而右侧分支从 \(1\) 开始，因此这个函数并不连续。若要让两个分支相接，可将第二个分支改为 \((x-1)^2+3\)。这样两侧都会在 \((1,3)\) 处相接。
常见错误
- 把每个解析式都画在整个实数轴上。
- 误用 \(<\)，而定义要求使用 \(\le\)，或反过来。
- 把端点标记放在错误的分支上。
- 仅因为当前缩放比例下两个分支看起来很接近，就认为函数连续。
- 忽略定义域中可能存在没有任何分支适用的空缺区间。
导出清晰的结果
相邻分支可使用对比明显的颜色，端点标记应足够大以便看清；如果图像之后需要放大，优先导出 SVG。若将来还要修改区间，也应同时保存 OGP 项目。
接下来可阅读如何区分可去间断、跳跃间断和无穷间断，或复习如何从图像判断定义域和值域。