Uma função definida por partes usa fórmulas diferentes em partes distintas de seu domínio. O principal desafio não é desenhar cada fórmula, mas aplicar o intervalo correto a cada ramo e indicar se os pontos de fronteira pertencem à função.
Método rápido: adicione um objeto de função para cada ramo, restrinja cada objeto ao intervalo indicado e marque extremos abertos ou fechados quando for necessário mostrar explicitamente a inclusão.
1. Leia a definição ramo por ramo
Considere
\[f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0,\\2x+1,&x\ge 0.\end{cases}\]
O primeiro ramo é a metade esquerda da parábola \(y=x^2\). O segundo é a parte da reta \(y=2x+1\) que começa em \(x=0\). Desenhar a parábola e a reta inteiras seria incorreto, pois cada regra só é válida em seu próprio intervalo.
2. Crie um gráfico restrito para cada ramo
- Abra a Calculadora Gráfica OnlineGraphing.
- Adicione a primeira função e digite
x^2. - Use os controles de intervalo ou condição da função para manter apenas \(x<0\).
- Adicione uma segunda função e digite
2*x+1. - Restrinja o segundo ramo a \(x\ge0\).
Se o modo gráfico atual aceitar uma condição diretamente, use nele as mesmas desigualdades. Caso contrário, objetos separados com restrições de domínio são mais claros e fáceis de editar.
3. Trate corretamente extremos abertos e fechados
Em \(x=0\), o primeiro ramo se aproxima de \(0\), mas não o inclui porque sua condição é estrita. O segundo ramo inclui \(x=0\), portanto \(f(0)=1\).
- Coloque um ponto aberto em \((0,0)\) para o extremo excluído.
- Coloque um ponto preenchido em \((0,1)\) para o extremo incluído.
Esses marcadores tornam o salto visível mesmo quando a curva é grossa ou a janela de visualização é pequena.
4. Verifique a continuidade em cada fronteira
Em uma fronteira \(x=a\), compare
\[\lim_{x\to a^-}f(x),\qquad \lim_{x\to a^+}f(x),\qquad f(a).\]
Neste exemplo, o limite pela esquerda em zero é \(0\), o limite pela direita é \(1\) e \(f(0)=1\). Como os limites laterais são diferentes, a função apresenta uma descontinuidade de salto em zero.
5. Exemplo contínuo definido por partes
Considere agora
\[g(x)=\begin{cases}x+2,&x<1,\\x^2,&x\ge1.\end{cases}\]
O ramo esquerdo se aproxima de \(3\), enquanto o ramo direito começa em \(1\); portanto, o exemplo não é contínuo. Para fazer os ramos se encontrarem, use \((x-1)^2+3\) no segundo ramo. Assim, os dois lados se unem em \((1,3)\).
Erros comuns
- Representar cada fórmula em toda a reta real.
- Usar \(<\) quando a definição exige \(\le\), ou o contrário.
- Colocar o marcador do extremo no ramo errado.
- Supor que dois ramos são contínuos porque parecem próximos no nível de zoom atual.
- Esquecer que o domínio pode conter lacunas nas quais nenhum ramo se aplica.
Exporte um resultado claro
Use cores contrastantes nos ramos adjacentes, mantenha os marcadores de extremos grandes o bastante para serem vistos e exporte em SVG se o gráfico for ampliado. Salve também um projeto OGP se quiser revisar os intervalos mais tarde.
Em seguida, leia como distinguir descontinuidades removíveis, de salto e infinitas ou reveja domínio e imagem a partir de um gráfico.