Hàm số từng đoạn sử dụng các công thức khác nhau trên những phần khác nhau của tập xác định. Khó khăn chính không phải là vẽ từng công thức, mà là áp dụng đúng khoảng cho từng nhánh và thể hiện rõ điểm biên có được lấy hay không.
Cách làm nhanh: thêm một đối tượng hàm số cho mỗi nhánh, giới hạn từng đối tượng theo khoảng đã cho, rồi đánh dấu điểm đầu mút rỗng hoặc đặc khi cần thể hiện rõ việc loại hay lấy điểm biên.
1. Đọc định nghĩa theo từng nhánh
Xét
\[f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0,\\2x+1,&x\ge 0.\end{cases}\]
Nhánh thứ nhất là nửa bên trái của parabol \(y=x^2\). Nhánh thứ hai là phần của đường thẳng \(y=2x+1\) bắt đầu từ \(x=0\). Nếu vẽ toàn bộ parabol và toàn bộ đường thẳng thì sẽ sai, vì mỗi công thức chỉ có hiệu lực trên khoảng riêng của nó.
2. Tạo một đồ thị có giới hạn cho mỗi nhánh
- Mở Máy tính vẽ đồ thị OnlineGraphing.
- Thêm hàm số thứ nhất và nhập
x^2. - Dùng phần điều khiển khoảng hoặc điều kiện của hàm để chỉ giữ phần \(x<0\).
- Thêm hàm số thứ hai và nhập
2*x+1. - Giới hạn nhánh thứ hai bởi \(x\ge0\).
Nếu chế độ đồ thị hiện tại cho phép nhập trực tiếp điều kiện, hãy dùng đúng các bất đẳng thức đó. Nếu không, tách thành các đối tượng riêng có giới hạn tập xác định sẽ rõ ràng và dễ chỉnh sửa hơn.
3. Xử lý điểm đầu mút rỗng và đặc
Tại \(x=0\), nhánh thứ nhất tiến tới \(0\) nhưng không nhận giá trị này vì điều kiện là bất đẳng thức nghiêm ngặt. Nhánh thứ hai nhận \(x=0\), nên \(f(0)=1\).
- Đặt một điểm rỗng tại \((0,0)\) cho đầu mút bị loại.
- Đặt một điểm đặc tại \((0,1)\) cho đầu mút được lấy.
Các dấu đầu mút này làm bước nhảy hiện rõ ngay cả khi đường cong dày hoặc cửa sổ quan sát nhỏ.
4. Kiểm tra tính liên tục tại mọi điểm biên
Tại điểm biên \(x=a\), hãy so sánh
\[\lim_{x\to a^-}f(x),\qquad \lim_{x\to a^+}f(x),\qquad f(a).\]
Trong ví dụ này, giới hạn trái tại 0 bằng \(0\), giới hạn phải bằng \(1\) và \(f(0)=1\). Vì hai giới hạn một phía khác nhau, hàm số gián đoạn kiểu bước nhảy tại 0.
5. Ví dụ hàm số từng đoạn liên tục
Xét tiếp
\[g(x)=\begin{cases}x+2,&x<1,\\x^2,&x\ge1.\end{cases}\]
Giá trị phía trái tiến tới \(3\), trong khi nhánh phải bắt đầu tại \(1\), nên ví dụ này không liên tục. Để hai nhánh gặp nhau, hãy dùng \((x-1)^2+3\) cho nhánh thứ hai. Khi đó hai phía cùng gặp tại \((1,3)\).
Lỗi thường gặp
- Vẽ mọi công thức trên toàn bộ trục số thực.
- Dùng \(<\) khi định nghĩa yêu cầu \(\le\), hoặc ngược lại.
- Đặt dấu đầu mút trên nhầm nhánh.
- Cho rằng hai nhánh liên tục chỉ vì chúng trông gần nhau ở mức thu phóng hiện tại.
- Quên rằng tập xác định có thể có khoảng trống không thuộc nhánh nào.
Xuất kết quả rõ ràng
Dùng màu tương phản cho các nhánh kề nhau, đặt dấu đầu mút đủ lớn để dễ nhìn và xuất SVG nếu đồ thị sẽ được phóng lớn. Đồng thời lưu dự án OGP nếu bạn muốn chỉnh lại các khoảng về sau.
Tiếp theo, hãy đọc cách phân biệt gián đoạn có thể khử, gián đoạn bước nhảy và gián đoạn vô cực, hoặc xem lại tập xác định và tập giá trị từ đồ thị.