Fungsi sepotong-sepotong menggunakan rumus yang berbeda pada bagian-bagian domain yang berbeda. Tantangan utamanya bukan menggambar setiap rumus, melainkan menerapkan interval yang tepat pada setiap cabang dan menunjukkan apakah titik batas termasuk dalam fungsi.
Cara cepat: tambahkan satu objek fungsi untuk setiap cabang, batasi setiap objek pada interval yang ditentukan, lalu tandai titik ujung terbuka atau tertutup apabila grafik perlu menunjukkan keanggotaannya secara jelas.
1. Baca definisi cabang demi cabang
Perhatikan
\[f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0,\\2x+1,&x\ge 0.\end{cases}\]
Cabang pertama adalah bagian kiri parabola \(y=x^2\). Cabang kedua adalah bagian garis \(y=2x+1\) yang dimulai pada \(x=0\). Menggambar seluruh parabola dan seluruh garis adalah keliru karena setiap aturan hanya berlaku pada intervalnya sendiri.
2. Buat satu grafik terbatas untuk setiap cabang
- Buka Kalkulator Grafik Online.
- Tambahkan fungsi pertama dan masukkan
x^2. - Gunakan pengaturan interval atau kondisi fungsi agar hanya bagian \(x<0\) yang ditampilkan.
- Tambahkan fungsi kedua dan masukkan
2*x+1. - Batasi cabang kedua pada \(x\ge0\).
Jika mode grafik yang digunakan menerima kondisi secara langsung, gunakan pertidaksamaan yang sama di sana. Jika tidak, objek terpisah dengan pembatasan domain lebih jelas dan lebih mudah disunting.
3. Tangani titik ujung terbuka dan tertutup
Pada \(x=0\), cabang pertama mendekati \(0\), tetapi tidak memuatnya karena kondisinya bersifat ketat. Cabang kedua memuat \(x=0\), sehingga \(f(0)=1\).
- Tempatkan titik terbuka pada \((0,0)\) untuk titik ujung yang tidak termasuk.
- Tempatkan titik terisi pada \((0,1)\) untuk titik ujung yang termasuk.
Penanda titik ujung ini membuat loncatan terlihat jelas meskipun garis grafik tebal atau jendela tampilan kecil.
4. Uji kekontinuan pada setiap batas
Pada batas \(x=a\), bandingkan
\[\lim_{x\to a^-}f(x),\qquad \lim_{x\to a^+}f(x),\qquad f(a).\]
Untuk contoh ini, limit kiri di nol adalah \(0\), limit kanan adalah \(1\), dan \(f(0)=1\). Karena kedua limit satu sisi berbeda, fungsi memiliki diskontinuitas loncatan di nol.
5. Contoh fungsi sepotong-sepotong yang kontinu
Sekarang perhatikan
\[g(x)=\begin{cases}x+2,&x<1,\\x^2,&x\ge1.\end{cases}\]
Nilai dari sisi kiri mendekati \(3\), sedangkan cabang kanan dimulai pada \(1\), sehingga contoh ini tidak kontinu. Agar kedua cabang bertemu, gunakan \((x-1)^2+3\) untuk cabang kedua. Dengan demikian, kedua sisi bertemu di \((1,3)\).
Kesalahan umum
- Menggambar setiap rumus pada seluruh garis bilangan real.
- Menggunakan \(<\) ketika definisi memerlukan \(\le\), atau sebaliknya.
- Menempatkan penanda titik ujung pada cabang yang salah.
- Menganggap dua cabang kontinu hanya karena tampak berdekatan pada tingkat zoom saat ini.
- Lupa bahwa domain dapat memiliki celah yang tidak dicakup oleh cabang mana pun.
Ekspor hasil yang jelas
Gunakan warna yang kontras untuk cabang-cabang yang berdekatan, buat penanda titik ujung cukup besar agar terlihat, dan ekspor sebagai SVG jika grafik akan diperbesar. Simpan juga proyek OGP jika Anda ingin mengubah intervalnya kembali.
Selanjutnya, baca cara membedakan diskontinuitas yang dapat dihilangkan, loncatan, dan tak hingga, atau tinjau domain dan daerah hasil dari grafik.