Een stukgewijs gedefinieerde functie gebruikt verschillende formules op verschillende delen van haar domein. De grootste uitdaging is niet het tekenen van elke formule, maar het toepassen van het juiste interval op elke tak en het aangeven of grenspunten wel of niet zijn inbegrepen.
Snelle methode: voeg voor elke tak een afzonderlijk functieobject toe, beperk elk object tot het opgegeven interval en markeer daarna open of gesloten eindpunten wanneer de opname van een grenspunt expliciet moet worden weergegeven.
1. Lees de definitie tak voor tak
Beschouw
\[f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0,\\2x+1,&x\ge 0.\end{cases}\]
De eerste tak is de linkerhelft van de parabool \(y=x^2\). De tweede tak is het deel van de rechte \(y=2x+1\) dat begint bij \(x=0\). De volledige parabool en de volledige rechte tekenen zou onjuist zijn, omdat elke regel alleen op zijn eigen interval geldt.
2. Maak voor elke tak een afzonderlijke beperkte grafiek
- Open de OnlineGraphing grafische rekenmachine.
- Voeg de eerste functie toe en voer
x^2in. - Gebruik de interval- of voorwaarde-instellingen van de functie om alleen \(x<0\) te behouden.
- Voeg een tweede functie toe en voer
2*x+1in. - Beperk de tweede tak tot \(x\ge0\).
Als de huidige grafiekmodus rechtstreeks een voorwaarde accepteert, gebruik dan dezelfde ongelijkheden. Zo niet, dan zijn afzonderlijke objecten met domeinbeperkingen overzichtelijker en gemakkelijker te bewerken.
3. Behandel open en gesloten eindpunten correct
Bij \(x=0\) nadert de eerste tak de waarde \(0\), maar neemt die niet aan omdat de voorwaarde strikt is. De tweede tak bevat \(x=0\), zodat \(f(0)=1\).
- Plaats een open punt op \((0,0)\) voor het uitgesloten eindpunt.
- Plaats een gevuld punt op \((0,1)\) voor het opgenomen eindpunt.
Deze eindpuntmarkeringen maken de sprong zichtbaar, zelfs wanneer de kromme dik is of het kijkvenster klein is.
4. Controleer de continuïteit bij elke grens
Vergelijk bij een grenspunt \(x=a\)
\[\lim_{x\to a^-}f(x),\qquad \lim_{x\to a^+}f(x),\qquad f(a).\]
In dit voorbeeld is de linkerlimiet bij nul \(0\), de rechterlimiet \(1\) en \(f(0)=1\). Omdat de eenzijdige limieten verschillen, heeft de functie bij nul een sprongdiscontinuïteit.
5. Een voorbeeld met continuïteitscontrole
Beschouw nu
\[g(x)=\begin{cases}x+2,&x<1,\\x^2,&x\ge1.\end{cases}\]
De linkerwaarde nadert \(3\), terwijl de rechtertak begint bij \(1\); deze functie is dus niet continu. Laat de tweede tak \((x-1)^2+3\) zijn om de takken te laten aansluiten. Dan ontmoeten beide zijden elkaar in \((1,3)\).
Veelgemaakte fouten
- Elke formule over de volledige reële as tekenen.
- \(<\) gebruiken wanneer \(\le\) vereist is, of omgekeerd.
- De eindpuntmarkering op de verkeerde tak plaatsen.
- Aannemen dat twee takken continu aansluiten omdat ze bij de huidige zoomfactor dicht bij elkaar lijken te liggen.
- Vergeten dat het domein openingen kan bevatten waar geen enkele tak geldt.
Exporteer een duidelijk resultaat
Gebruik contrasterende kleuren voor aangrenzende takken, maak de eindpuntmarkeringen groot genoeg en exporteer als SVG wanneer de grafiek later wordt vergroot. Bewaar ook een OGP-project als je de intervallen later wilt aanpassen.
Lees daarna hoe je ophefbare, sprong- en oneindige discontinuïteiten onderscheidt, of bekijk opnieuw domein en bereik uit een grafiek.