区分的に定義された関数は、定義域の異なる部分で別々の式を使う関数です。難しいのは各式そのものを描くことではなく、それぞれの枝に正しい区間を適用し、境界点を含むかどうかを明確に示すことです。
簡単な方法：枝ごとに1つの関数オブジェクトを追加し、指定された区間に制限してから、必要に応じて端点を白丸または黒丸で示します。
1. 定義を枝ごとに読む
次の関数を考えます。
\[f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0,\\2x+1,&x\ge 0.\end{cases}\]
第1の枝は放物線 \(y=x^2\) の左半分です。第2の枝は直線 \(y=2x+1\) のうち、\(x=0\) から始まる部分です。放物線全体と直線全体を描くのは誤りです。それぞれの式は指定された区間でだけ有効だからです。
2. 枝ごとに区間を制限したグラフを作る
- オンライン・グラフ電卓 を開きます。
- 最初の関数を追加し、
x^2と入力します。 - 関数の区間または条件の設定を使い、\(x<0\) の部分だけを残します。
- 2つ目の関数を追加し、
2*x+1と入力します。 - 第2の枝を \(x\ge0\) に制限します。
現在のグラフモードで条件を式に直接付けられる場合は、同じ不等式を使用できます。そうでない場合は、定義域を制限した別々のオブジェクトに分ける方が分かりやすく、編集もしやすくなります。
3. 白丸と黒丸の端点を正しく扱う
\(x=0\) では、第1の枝は \(0\) に近づきますが、条件が厳密不等号なのでその点を含みません。第2の枝は \(x=0\) を含むため、\(f(0)=1\) です。
- 除外される端点 \((0,0)\) には白丸を置きます。
- 含まれる端点 \((0,1)\) には黒丸を置きます。
線が太い場合や表示範囲が小さい場合でも、端点記号を付けると跳びが明確に分かります。
4. 各境界で連続性を調べる
境界 \(x=a\) では、次の3つを比較します。
\[\lim_{x\to a^-}f(x),\qquad \lim_{x\to a^+}f(x),\qquad f(a).\]
この例では、0での左極限は \(0\)、右極限は \(1\)、そして \(f(0)=1\) です。左右の極限が異なるため、0で跳躍不連続があります。
5. 連続になる区分関数の例
次を考えます。
\[g(x)=\begin{cases}x+2,&x<1,\\x^2,&x\ge1.\end{cases}\]
左側は \(3\) に近づきますが、右の枝は \(1\) から始まるため、このままでは連続ではありません。2つの枝をつなげるには、第2の枝を \((x-1)^2+3\) にします。すると両側は \((1,3)\) で一致します。
よくある間違い
- 各式を実数全体にわたって描いてしまう。
- \(<\) を使ってしまうが、定義には \(\le\) が必要である、またはその逆。
- 端点記号を別の枝に置いてしまう。
- 現在の拡大率で近く見えるだけなのに、2つの枝が連続だと判断する。
- どの枝も適用されない区間が定義域に含まれないことを見落とす。
見やすく書き出す
隣り合う枝には対照的な色を使い、端点記号は見える大きさにします。拡大して使う場合はSVGで書き出すと鮮明です。後で区間を修正する可能性がある場合は、OGPプロジェクトも保存してください。
続いて、除去可能不連続・跳躍不連続・無限不連続の見分け方を読むか、グラフから定義域と値域を求める方法を確認してください。