Eine stückweise definierte Funktion verwendet auf verschiedenen Teilen ihres Definitionsbereichs unterschiedliche Formeln. Die Hauptschwierigkeit besteht nicht darin, jede Formel zu zeichnen, sondern jeder Teilfunktion das richtige Intervall zuzuweisen und anzugeben, ob die Randpunkte enthalten sind.
Schnellmethode: Fügen Sie für jeden Zweig ein eigenes Funktionsobjekt hinzu, beschränken Sie jedes Objekt auf das angegebene Intervall und kennzeichnen Sie offene oder geschlossene Randpunkte, wenn die Zugehörigkeit im Graphen ausdrücklich sichtbar sein soll.
1. Die Definition Zweig für Zweig lesen
Betrachten Sie
\[f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0,\\2x+1,&x\ge 0.\end{cases}\]
Der erste Zweig ist die linke Hälfte der Parabel \(y=x^2\). Der zweite Zweig ist der Teil der Geraden \(y=2x+1\), der bei \(x=0\) beginnt. Die vollständige Parabel und die vollständige Gerade zu zeichnen wäre falsch, da jede Vorschrift nur auf ihrem eigenen Intervall gilt.
2. Für jeden Zweig einen beschränkten Graphen erstellen
- Öffnen Sie den OnlineGraphing-Grafikrechner.
- Fügen Sie die erste Funktion hinzu und geben Sie
x^2ein. - Verwenden Sie die Intervall- oder Bedingungseinstellungen der Funktion, sodass nur \(x<0\) erhalten bleibt.
- Fügen Sie eine zweite Funktion hinzu und geben Sie
2*x+1ein. - Beschränken Sie den zweiten Zweig auf \(x\ge0\).
Wenn der aktuelle Zeichenmodus eine Bedingung direkt akzeptiert, verwenden Sie dort dieselben Ungleichungen. Andernfalls sind getrennte Objekte mit Definitionsbereichsbeschränkungen übersichtlicher und leichter zu bearbeiten.
3. Offene und geschlossene Randpunkte richtig behandeln
Bei \(x=0\) nähert sich der erste Zweig dem Wert \(0\), schließt ihn wegen der strengen Bedingung aber nicht ein. Der zweite Zweig enthält \(x=0\), daher gilt \(f(0)=1\).
- Setzen Sie für den ausgeschlossenen Randpunkt einen offenen Punkt bei \((0,0)\).
- Setzen Sie für den enthaltenen Randpunkt einen ausgefüllten Punkt bei \((0,1)\).
Diese Markierungen machen die Sprungstelle auch dann sichtbar, wenn die Kurve dick oder das Ansichtsfenster klein ist.
4. Die Stetigkeit an jeder Grenze prüfen
An einer Grenze \(x=a\) vergleichen Sie
\[\lim_{x\to a^-}f(x),\qquad \lim_{x\to a^+}f(x),\qquad f(a).\]
In diesem Beispiel ist der linksseitige Grenzwert bei null \(0\), der rechtsseitige Grenzwert \(1\) und \(f(0)=1\). Da die einseitigen Grenzwerte verschieden sind, besitzt die Funktion bei null eine Sprungunstetigkeit.
5. Beispiel einer stetigen stückweisen Funktion
Betrachten Sie nun
\[g(x)=\begin{cases}x+2,&x<1,\\x^2,&x\ge1.\end{cases}\]
Der linke Zweig nähert sich \(3\), während der rechte Zweig bei \(1\) beginnt; dieses Beispiel ist also nicht stetig. Damit sich beide Zweige treffen, verwenden Sie für den zweiten Zweig \((x-1)^2+3\). Dann treffen beide Seiten im Punkt \((1,3)\) zusammen.
Häufige Fehler
- Jede Formel auf der gesamten reellen Achse zeichnen.
- \(<\) verwenden, obwohl die Definition \(\le\) verlangt, oder umgekehrt.
- Die Randpunktmarkierung am falschen Zweig platzieren.
- Annehmen, zwei Zweige seien stetig, weil sie bei der aktuellen Vergrößerung nahe beieinander aussehen.
- Übersehen, dass der Definitionsbereich Lücken enthalten kann, in denen kein Zweig gilt.
Ein gut lesbares Ergebnis exportieren
Verwenden Sie kontrastreiche Farben für benachbarte Zweige, ausreichend große Randpunktmarkierungen und das SVG-Format, wenn der Graph später vergrößert werden soll. Speichern Sie außerdem ein OGP-Projekt, falls Sie die Intervalle später ändern möchten.
Lesen Sie anschließend, wie man hebbare, Sprung- und unendliche Unstetigkeiten unterscheidet, oder wiederholen Sie Definitionsbereich und Wertebereich anhand eines Graphen.