Une fonction définie par morceaux utilise des formules différentes sur différentes parties de son domaine. La difficulté principale n’est pas de tracer chaque formule, mais d’appliquer le bon intervalle à chaque branche et d’indiquer si les points frontières sont inclus.
Méthode rapide : ajoutez un objet fonction pour chaque branche, limitez chaque objet à l’intervalle indiqué, puis marquez les extrémités ouvertes ou fermées lorsque l’inclusion doit apparaître explicitement sur le graphique.
1. Lire la définition branche par branche
Considérons
\[f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0,\\2x+1,&x\ge 0.\end{cases}\]
La première branche est la moitié gauche de la parabole \(y=x^2\). La seconde est la partie de la droite \(y=2x+1\) qui commence en \(x=0\). Tracer la parabole et la droite entières serait incorrect, car chaque règle n’est valable que sur son propre intervalle.
2. Créer un tracé restreint pour chaque branche
- Ouvrez la calculatrice graphique OnlineGraphing.
- Ajoutez la première fonction et saisissez
x^2. - Utilisez les réglages d’intervalle ou de condition de la fonction pour ne conserver que \(x<0\).
- Ajoutez une seconde fonction et saisissez
2*x+1. - Restreignez la seconde branche à \(x\ge0\).
Si le mode de tracé actuel accepte directement une condition, utilisez les mêmes inégalités. Sinon, des objets séparés avec des restrictions de domaine sont plus clairs et plus faciles à modifier.
3. Gérer les extrémités ouvertes et fermées
En \(x=0\), la première branche tend vers \(0\) mais ne l’inclut pas, car sa condition est stricte. La seconde branche inclut \(x=0\), donc \(f(0)=1\).
- Placez un point ouvert en \((0,0)\) pour l’extrémité exclue.
- Placez un point plein en \((0,1)\) pour l’extrémité incluse.
Ces marqueurs rendent le saut visible même si la courbe est épaisse ou si la fenêtre d’affichage est petite.
4. Tester la continuité à chaque frontière
À une frontière \(x=a\), comparez
\[\lim_{x\to a^-}f(x),\qquad \lim_{x\to a^+}f(x),\qquad f(a).\]
Dans cet exemple, la limite à gauche en zéro vaut \(0\), la limite à droite vaut \(1\) et \(f(0)=1\). Comme les limites unilatérales sont différentes, la fonction présente une discontinuité par saut en zéro.
5. Exemple continu par morceaux
Considérons maintenant
\[g(x)=\begin{cases}x+2,&x<1,\\x^2,&x\ge1.\end{cases}\]
La branche de gauche tend vers \(3\), tandis que la branche de droite commence à \(1\) : cet exemple n’est donc pas continu. Pour faire coïncider les branches, utilisez \((x-1)^2+3\) pour la seconde. Les deux côtés se rejoignent alors en \((1,3)\).
Erreurs fréquentes
- Tracer chaque formule sur toute la droite réelle.
- Utiliser \(<\) alors que la définition exige \(\le\), ou inversement.
- Placer le marqueur d’extrémité sur la mauvaise branche.
- Supposer que deux branches sont continues parce qu’elles paraissent proches au niveau de zoom actuel.
- Oublier que le domaine peut comporter des intervalles où aucune branche ne s’applique.
Exporter un résultat lisible
Utilisez des couleurs contrastées pour les branches voisines, des marqueurs d’extrémité suffisamment grands et le format SVG si le graphique doit être agrandi. Enregistrez aussi un projet OGP si vous souhaitez modifier les intervalles ultérieurement.
Poursuivez avec la distinction entre discontinuités amovibles, par saut et infinies, ou révisez le domaine et l’ensemble image à partir d’un graphique.