Une discontinuité apparaît en \(x=a\) lorsqu’une fonction n’y est pas continue. La continuité exige les trois conditions suivantes :
- \(f(a)\) existe ;
- \(\lim_{x\to a}f(x)\) existe ;
- \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
Chaque type d’échec produit une discontinuité différente.
1. Discontinuité amovible : un trou
Considérons
\[f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.\]
Pour \(x\ne1\), l’expression se simplifie en \(x+1\), mais la fonction initiale n’est pas définie en \(x=1\). Son graphique est la droite \(y=x+1\) avec un trou en \((1,2)\).
La limite existe :
\[\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2,\]
mais \(f(1)\) n’existe pas. Définir \(f(1)=2\) supprimerait la discontinuité.
2. Discontinuité par saut
Pour
\[g(x)=\begin{cases}x+1,&x<0,\\x+3,&x\ge0,\end{cases}\]
les limites unilatérales sont
\[\lim_{x\to0^-}g(x)=1,\qquad \lim_{x\to0^+}g(x)=3.\]
Comme elles sont finies mais différentes, la limite bilatérale n’existe pas. Le graphique saute d’une hauteur à une autre.
3. Discontinuité infinie
Pour \(h(x)=1/(x-2)\), la fonction devient non bornée au voisinage de \(x=2\) :
\[\lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty.\]
La droite \(x=2\) est une asymptote verticale et la fonction y présente une discontinuité infinie.
4. Discontinuité oscillante
Toute discontinuité non amovible n’est pas nécessairement un saut ou une asymptote verticale. La fonction
\[q(x)=\sin\left(\frac1x\right),\qquad x\ne0,\]
oscille une infinité de fois lorsque \(x\to0\). La limite n’existe pas, car les valeurs ne tendent ni vers un nombre unique ni vers une seule infinité.
5. Procédure de classification fiable
- Vérifiez si la formule est définie en \(x=a\).
- Calculez ou estimez séparément les limites à gauche et à droite.
- Si elles sont égales et finies, comparez leur valeur commune avec \(f(a)\).
- Si elles sont finies mais différentes, concluez à une discontinuité par saut.
- Si l’un des côtés est non borné, concluez à une discontinuité infinie.
- Si les valeurs oscillent sans se stabiliser, concluez à une discontinuité oscillante.
6. Précautions de lecture graphique
Un tracé peut relier des points de part et d’autre d’une discontinuité étroite si l’échantillonnage est trop grossier. Zoomez près de la valeur de x suspecte et confirmez par les limites. Un trou amovible peut être difficile à voir sans marqueur de point ouvert. Une asymptote verticale doit être distinguée d’un segment très raide mais fini.
Utilisez la calculatrice graphique pour comparer les exemples. Pour construire les branches pas à pas, consultez les fonctions définies par morceaux ; pour les asymptotes verticales, voyez le guide des asymptotes.