Eine Unstetigkeit liegt bei \(x=a\) vor, wenn eine Funktion dort nicht stetig ist. Stetigkeit erfordert alle drei Bedingungen:
- \(f(a)\) existiert;
- \(\lim_{x\to a}f(x)\) existiert;
- \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
Je nachdem, welche Bedingung verletzt wird, entstehen verschiedene Arten von Unstetigkeiten.
1. Hebbare Unstetigkeit: ein Loch
Betrachten Sie
\[f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.\]
Für \(x\ne1\) vereinfacht sich der Ausdruck zu \(x+1\), die ursprüngliche Funktion ist bei \(x=1\) jedoch nicht definiert. Der Graph ist die Gerade \(y=x+1\) mit einem Loch bei \((1,2)\).
Der Grenzwert existiert:
\[\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2,\]
aber \(f(1)\) existiert nicht. Durch die Definition \(f(1)=2\) würde die Unstetigkeit behoben.
2. Sprungunstetigkeit
Für
\[g(x)=\begin{cases}x+1,&x<0,\\x+3,&x\ge0,\end{cases}\]
lauten die einseitigen Grenzwerte
\[\lim_{x\to0^-}g(x)=1,\qquad \lim_{x\to0^+}g(x)=3.\]
Da die einseitigen Grenzwerte endlich, aber verschieden sind, existiert der zweiseitige Grenzwert nicht. Der Graph springt von einer Höhe zur anderen.
3. Unendliche Unstetigkeit
Für \(h(x)=1/(x-2)\) wächst die Funktion in der Nähe von \(x=2\) betragsmäßig unbegrenzt:
\[\lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty.\]
Die Gerade \(x=2\) ist eine senkrechte Asymptote; die Funktion besitzt dort eine unendliche Unstetigkeit.
4. Oszillierende Unstetigkeit
Nicht jede nicht hebbare Unstetigkeit ist ein Sprung oder eine senkrechte Asymptote. Die Funktion
\[q(x)=\sin\left(\frac1x\right),\qquad x\ne0,\]
oszilliert unendlich oft, wenn \(x\to0\). Der Grenzwert existiert nicht, weil sich die Werte weder einer einzigen Zahl noch einem einzigen Unendlichkeitswert nähern.
5. Ein zuverlässiges Klassifikationsverfahren
- Prüfen Sie, ob die Formel bei \(x=a\) definiert ist.
- Berechnen oder schätzen Sie links- und rechtsseitigen Grenzwert getrennt.
- Stimmen beide überein und sind endlich, vergleichen Sie den gemeinsamen Grenzwert mit \(f(a)\).
- Sind beide endlich, aber verschieden, liegt eine Sprungunstetigkeit vor.
- Ist eine Seite unbeschränkt, liegt eine unendliche Unstetigkeit vor.
- Schwingen die Werte, ohne sich einzupendeln, liegt eine oszillierende Unstetigkeit vor.
6. Vorsicht bei der grafischen Darstellung
Eine Zeichnung kann Punkte über eine schmale Unstetigkeit hinweg verbinden, wenn das Abtastintervall zu grob ist. Vergrößern Sie die Umgebung des verdächtigen x-Werts und bestätigen Sie das Verhalten mit analytischen Grenzwerten. Ein hebbares Loch ist ohne offenen Punktmarker möglicherweise schwer zu erkennen. Eine senkrechte Asymptote muss von einem sehr steilen, aber endlichen Kurvenstück unterschieden werden.
Vergleichen Sie die Beispiele im Grafikrechner. Zur schrittweisen Konstruktion der Zweige lesen Sie stückweise definierte Funktionen; zu senkrechten Asymptoten lesen Sie den Asymptoten-Leitfaden.