Разрыв возникает в точке \(x=a\), если функция там не непрерывна. Для непрерывности необходимы все три условия:
- \(f(a)\) существует;
- \(\lim_{x\to a}f(x)\) существует;
- \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
Нарушение разных условий приводит к разным типам разрыва.
1. Устранимый разрыв: выколотая точка
Рассмотрим
\[f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.\]
При \(x\ne1\) выражение сокращается до \(x+1\), но исходная функция не определена при \(x=1\). График — прямая \(y=x+1\) с выколотой точкой \((1,2)\).
Предел существует:
\[\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2,\]
но \(f(1)\) не существует. Если доопределить \(f(1)=2\), разрыв исчезнет.
2. Разрыв со скачком
Для
\[g(x)=\begin{cases}x+1,&x<0,\\x+3,&x\ge0,\end{cases}\]
односторонние пределы равны
\[\lim_{x\to0^-}g(x)=1,\qquad \lim_{x\to0^+}g(x)=3.\]
Поскольку они конечны, но не равны, двусторонний предел не существует. График скачком переходит с одного уровня на другой.
3. Бесконечный разрыв
Для \(h(x)=1/(x-2)\) функция неограниченно возрастает по модулю около \(x=2\):
\[\lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty.\]
Прямая \(x=2\) является вертикальной асимптотой, а в этой точке имеется бесконечный разрыв.
4. Колебательный разрыв
Не всякий неустранимый разрыв является скачком или вертикальной асимптотой. Функция
\[q(x)=\sin\left(\frac1x\right),\qquad x\ne0,\]
бесконечно много раз колеблется при \(x\to0\). Предел не существует, потому что значения не приближаются ни к одному числу, ни к одной бесконечности.
5. Надёжный алгоритм классификации
- Проверьте, определена ли формула при \(x=a\).
- Отдельно вычислите или оцените левосторонний и правосторонний пределы.
- Если они совпадают и конечны, сравните общий предел с \(f(a)\).
- Если они конечны, но различны, это скачок.
- Если хотя бы с одной стороны функция неограниченна, это бесконечный разрыв.
- Если значения колеблются без приближения к пределу, это колебательный разрыв.
6. Предостережения при построении
При слишком крупном шаге выборки график может соединить точки через узкий разрыв. Увеличьте окрестность подозрительного значения x и подтвердите результат аналитическими пределами. Устранимую выколотую точку трудно заметить без отдельного открытого маркера. Вертикальную асимптоту следует отличать от очень крутого, но конечного участка.
Сравните примеры в графическом калькуляторе. Построение ветвей описано в статье о кусочно заданных функциях, а вертикальные асимптоты — в руководстве по асимптотам.