Diskontinuitas terjadi pada \(x=a\) ketika suatu fungsi tidak kontinu di titik tersebut. Kekontinuan memerlukan ketiga syarat berikut:
- \(f(a)\) ada;
- \(\lim_{x\to a}f(x)\) ada;
- \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
Kegagalan yang berbeda menghasilkan jenis diskontinuitas yang berbeda.
1. Diskontinuitas yang dapat dihilangkan: sebuah lubang
Perhatikan
\[f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.\]
Untuk \(x\ne1\), bentuk ini menyederhana menjadi \(x+1\), tetapi fungsi asal tidak terdefinisi pada \(x=1\). Grafiknya adalah garis \(y=x+1\) dengan lubang di \((1,2)\).
Limitnya ada:
\[\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2,\]
tetapi \(f(1)\) tidak ada. Menetapkan \(f(1)=2\) akan menghilangkan diskontinuitas tersebut.
2. Diskontinuitas loncatan
Untuk
\[g(x)=\begin{cases}x+1,&x<0,\\x+3,&x\ge0,\end{cases}\]
limit satu sisinya adalah
\[\lim_{x\to0^-}g(x)=1,\qquad \lim_{x\to0^+}g(x)=3.\]
Karena limit satu sisi bernilai hingga tetapi tidak sama, limit dua sisi tidak ada. Grafik meloncat dari satu ketinggian ke ketinggian lain.
3. Diskontinuitas tak hingga
Untuk \(h(x)=1/(x-2)\), nilai fungsi membesar tanpa batas di dekat \(x=2\):
\[\lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty.\]
Garis \(x=2\) adalah asimptot vertikal, dan fungsi memiliki diskontinuitas tak hingga di sana.
4. Diskontinuitas osilasi
Tidak setiap diskontinuitas yang tidak dapat dihilangkan merupakan loncatan atau asimptot vertikal. Fungsi
\[q(x)=\sin\left(\frac1x\right),\qquad x\ne0,\]
berosilasi tak berhingga kali ketika \(x\to0\). Limitnya tidak ada karena nilai fungsi tidak mendekati satu bilangan maupun satu ketakhinggaan tertentu.
5. Prosedur klasifikasi yang dapat diandalkan
- Periksa apakah rumus terdefinisi pada \(x=a\).
- Hitung atau perkirakan limit kiri dan kanan secara terpisah.
- Jika keduanya sama dan berhingga, bandingkan limit tersebut dengan \(f(a)\).
- Jika keduanya berhingga tetapi tidak sama, klasifikasikan sebagai loncatan.
- Jika salah satu sisi tak terbatas, klasifikasikan sebagai diskontinuitas tak hingga.
- Jika nilai berosilasi tanpa mendekati nilai tertentu, klasifikasikan sebagai diskontinuitas osilasi.
6. Kehati-hatian saat menggambar
Grafik dapat menghubungkan titik-titik melewati diskontinuitas sempit jika interval sampling terlalu kasar. Perbesar daerah di sekitar nilai x yang dicurigai dan gunakan limit analitik untuk memastikan. Lubang yang dapat dihilangkan mungkin sulit terlihat jika Anda tidak menambahkan penanda titik terbuka. Asimptot vertikal harus dibedakan dari segmen yang sangat curam tetapi tetap berhingga.
Gunakan Kalkulator Grafik untuk membandingkan contoh-contoh tersebut. Untuk langkah membuat setiap cabang, lihat fungsi sepotong-sepotong; untuk asimptot vertikal, lihat panduan asimptot.